I rapporti e il confine del livello base

Dopo l'inversa della somma viene l'inversa del prodotto, cioè la divisione, che tra gli interi riesce soltanto in casi fortunati. I Greci affrontarono la questione con la nozione di logos, il rapporto tra due molteplicità, e la consideravano precedente a ogni misura di lunghezze, tanto che una proporzione come due sta a tre aveva per loro senso anche quando riguardava corde, pesi o tempi. La Matematica Ontologica riprende quella priorità e costruisce i numeri razionali, quelli che si scrivono come frazioni, restando interamente nel livello base, dove di distanze ancora non si parla.

L'undicesima definizione, D11, considera coppie ⟨A, B⟩ nelle quali B è diverso dall'aggregato nullo e dichiara in proporzione due coppie ⟨A, B⟩ e ⟨C, D⟩ quando il prodotto incrociato dà lo stesso numero, cioè quando [A] · [D] coincide con [C] · [B]. L'ottavo lemma afferma che l'essere in proporzione è un'equivalenza, e adopera la cancellazione per il prodotto, la quale dice che da m · k uguale a n · k, con k diverso da zero, segue m uguale a n, e si ottiene per induzione dalla cancellazione per la somma. La dodicesima definizione, D12, chiama rapporto la classe di proporzione di una coppia e la scrive [A, B]ₚ, o più familiarmente come frazione con [A] sopra e [B] sotto.

Un rapporto è l'invariante che risponde alla domanda su quante parti dell'uno corrispondano a quante parti dell'altro, e resta lo stesso quando entrambi i termini vengono moltiplicati per uno stesso numero, come si vede dal fatto che due su tre e quattro su sei esprimono la medesima proporzione. La tredicesima definizione, D13, introduce la somma e il prodotto di rapporti con le formule consuete delle frazioni, estende la costruzione ai rapporti negativi partendo dagli interi invece che dai naturali, e stabilisce l'ordine confrontando i prodotti incrociati.

Il nono teorema descrive la struttura ottenuta e afferma che i rapporti formano un campo ordinato, cioè un sistema nel quale, oltre alle leggi dell'anello, ogni elemento diverso da zero possiede un inverso che moltiplicato per esso dà uno, e formano un campo denso, nel senso che tra due rapporti distinti ne cade sempre un terzo, per esempio la loro media. La densità ha un significato che va sottolineato, perché mostra che già al livello base, senza alcuno spazio, i numeri si infittiscono senza fine, e che dunque l'infittirsi, da solo, è cosa diversa dalla continuità. Il decimo teorema, che porta il nome di Archimede, afferma che dati due numeri positivi qualunque basta ripetere il primo abbastanza volte per superare il secondo, ed è la forma che l'inesauribilità assume tra i rapporti, giacché esclude l'esistenza di quantità così piccole da restare al di sotto di ogni multiplo, ed entrambi i teoremi hanno lo stato di derivato.

Il livello base possiede a questo punto un'aritmetica completa delle quattro operazioni, ed è in grado di dimostrare dall'interno dove si trova il proprio confine. L'undicesimo teorema, quello dell'incommensurabilità, afferma che nessun rapporto ha per quadrato il numero due. La dimostrazione risale ai pitagorici e si lascia raccontare in poche righe. Se esistessero due numeri m e n, con n diverso da zero, tali che il quadrato di m fosse il doppio del quadrato di n, allora il quadrato di m sarebbe pari e quindi m stesso sarebbe pari, cioè doppio di un certo k. Sostituendo, il quadrato di n risulterebbe il doppio del quadrato di k, sicché anche n sarebbe pari e la stessa relazione varrebbe per la coppia più piccola formata da k e dalla metà di n. Il ragionamento si potrebbe ripetere senza fine, producendo numeri sempre più piccoli, il che contraddice il buon ordine e, più in profondità, l'assioma di generazione, secondo cui ogni discesa termina. Il teorema ha lo stato di derivato, e poiché ciò che stabilisce è un'impossibilità, il ragionamento per assurdo vi è adoperato in modo pienamente legittimo.

Il risultato va letto con attenzione, perché è il più istruttivo dell'intero livello. Chi disegna un quadrato e ne traccia la diagonale si aspetta che il rapporto tra la diagonale e il lato sia un numero come gli altri, e il teorema dimostra che tra i rapporti quel numero manca. I Greci vissero la scoperta come uno scandalo e chiamarono quel rapporto alogon, privo di ragione. Nella Matematica Ontologica lo scandalo si scioglie in una constatazione precisa, secondo cui ciò che manca è una proprietà che l'aggregato considerato non possiede ancora, la proprietà che consente di completare ogni approssimazione, e che appartiene soltanto agli aggregati nei quali la spazialità è presente.

Si può dare al punto una formulazione ancora più netta ricorrendo ai tre valori. La regola che separa i rapporti con quadrato minore di due da quelli con quadrato maggiore di due è perfettamente formulabile al livello base, e si comporta come una domanda ben posta. Ciò che al livello base manca è qualcosa di cui quella regola sia la misura, e un giudizio che attribuisca una misura a qualcosa la cui esistenza non è garantita ha, nella logica ontologica, il valore N, perché la sua presupposizione di esistenza resta insoddisfatta. Il livello base, dunque, sa porre la domanda sulla radice di due, sa dimostrare che nessun rapporto vi risponde e sa indicare quale proprietà dell'essere occorra perché una risposta ci sia.

Si chiude così la prima parte della costruzione, che dall'essere differenziato è giunta ai numeri naturali, agli interi e ai rapporti attraverso la sola differenza qualitativa e la sola aggregazione. Questa matematica vale per ogni aggregato, spaziale o no, ed è la sola che si possa dire incondizionata. Tutto ciò che segue richiede che l'essere abbia assunto qualche proprietà in più, e i prossimi moduli si incaricano di dire quale.