Il quadro d'insieme

Questo modulo ripercorre l'intera costruzione in forma compatta, perché chi ha letto i precedenti possa ritrovare a colpo d'occhio che cosa viene assunto, che cosa viene definito e che cosa viene dimostrato a ciascun livello, e perché chi arriva qui per primo possa farsi un'idea dell'edificio prima di visitarne le stanze. La notazione è quella adoperata in tutta la documentazione, e ogni sigla rimanda al modulo nel quale viene introdotta e discussa.

La tesi di fondo è che esiste soltanto l'essere differenziato in proprietà, che i luoghi della differenziazione si chiamano determinazioni e che queste si compongono in aggregati privi di involucro. La matematica è la scienza degli invarianti di tale differenziazione, e il suo metodo è il principio di invariantizzazione, secondo cui ogni entità matematica va definita come ciò che resta identico in tutte le realizzazioni di una struttura del livello sottostante. I giudizi matematici ricevono i tre valori della logica di ONTO, cioè V per ciò che è affermato mediante una costruzione esibita, F per ciò che è impossibile o confutato, e N per ciò a cui manca un riferimento, a cominciare dal campione rispetto al quale un numero viene attribuito.

Il livello base ha per primitivi la determinazione, la differenza qualitativa, scritta x ∥ y, e l'aggregazione, scritta ▷. I suoi assiomi sono l'esistenza differenziata B1, la forma della differenza B2, l'identità B3, l'aggregazione B4, la generazione B5, l'inesauribilità B6, l'estensionalità B7, l'accoppiamento B8 e l'aggregato nullo B9. Le definizioni vanno dalla correlazione D1 all'equinumerosità D2, al numero come classe di equinumerosità D3, allo zero e al successore D4, alla somma D5, al prodotto D6, all'ordine D7, e proseguono con le coppie equivalenti D8, l'intero D9 e le sue operazioni D10, la proporzione D11, il rapporto D12 e le sue operazioni D13. Gli otto lemmi assicurano che l'equinumerosità è un'equivalenza, che successore, somma e prodotto sono indifferenti ai rappresentanti, che vale la cancellazione e che le costruzioni degli interi e dei rapporti sono ben poste.

I teoremi del livello base sono undici, e il primo ricava le cinque regole di Peano, il secondo le leggi della somma e del prodotto, il terzo l'ordine totale e il buon ordine, il quarto la divisione con resto, il quinto la scomposizione unica in fattori primi, il sesto l'inesauribilità dei primi. Il settimo stabilisce che la matematica classica coincide con la porzione dell'affermato. L'ottavo descrive gli interi come anello ordinato, il nono i rapporti come campo ordinato e denso, il decimo enuncia la proprietà di Archimede e l'undicesimo l'incommensurabilità, che segna il confine del livello. Tutti hanno lo stato di derivato, e valgono per ogni aggregato senza alcuna condizione.

Il livello correlazionale aggiunge il confronto tra coppie, scritto xy ≼ zw, e la relazione dello stare fra. I suoi assiomi sono la differenza nulla C1, la simmetria C2, la confrontabilità C3, l'identità C4, la composizione C5, la disuguaglianza triangolare C6 e la non necessità della spazialità C7. Le definizioni sono quelle di grandezza D14 e di somma di grandezze D15. Il risultato del livello è che il numero possiede una seconda origine, la misura, accanto a quella del contare, e che entrambe discendono dalla differenza.

Il livello spaziale vale per gli aggregati dotati della proprietà S, cioè per le trame, caratterizzate dalla componibilità S1, dall'aritmetica interna S2, dalla condizione di Archimede S3, dalla connessione S4 e dalla completezza S5. Le definizioni sono quelle di sezione D16 e di numero reale D17, cui l'analisi aggiunge il limite D18, la continuità D19, la derivata D20 e l'integrale D21, e la geometria l'isometria D26. I teoremi vanno dal dodicesimo, che identifica le grandezze di una trama con i numeri reali, al tredicesimo, che salda contare e misurare, al quattordicesimo, che garantisce l'esistenza della radice di due, e proseguono con i valori intermedi, il massimo e il minimo, il teorema fondamentale del calcolo, numerati dal quindicesimo al diciassettesimo, e con i due teoremi geometrici, quello di Pitagora e quello sulla dimensione, che portano i numeri ventiquattro e venticinque. Il ventiseiesimo afferma che nessuna successione esaurisce i reali, e tutti hanno lo stato di derivato sotto condizione.

Il livello quantistico vale dove è presente la distinzione tra implicito ed esplicito, ed è retto dagli assiomi sugli stati E1, sulla compresenza E2, sui passaggi E3, sulle fasi E4 e sul peso E5, con le definizioni di ampiezza orientata D22 e di probabilità D23. Il diciottesimo teorema ricava i numeri complessi, il diciannovesimo è il teorema fondamentale dell'algebra, il ventesimo stabilisce che il peso è il quadrato dell'ampiezza e il ventunesimo è la legge dei grandi numeri. Lo stato è derivato sotto condizione, con due eccezioni dichiarate, la continuità del ciclo delle fasi e la forma generale della regola del peso, che sono tarate.

L'algebra, che attraversa i livelli, definisce la struttura e l'isomorfismo in D24 e il gruppo in D25, e dimostra con il ventiduesimo teorema che ogni gruppo è un gruppo di simmetrie e con il ventitreesimo la relazione tra un gruppo finito e i suoi sottogruppi. La dottrina dell'infinito ammette l'infinito potenziale, garantito insieme dalla generazione e dall'inesauribilità, sostituisce gli insiemi infiniti con classi intese come regole, e lascia fuori dal proprio perimetro la gerarchia degli infiniti attuali.

Lo stato complessivo si riassume in poche righe, a cominciare dall'aritmetica dei naturali, degli interi e dei rapporti, che è derivata dai soli primitivi del livello base e costituisce il nucleo solido della disciplina. Il continuo, l'analisi e la geometria sono derivati sotto la condizione che la proprietà spaziale sia presente. I numeri complessi e la probabilità sono derivati sotto la condizione del livello quantistico, con due punti tarati. Il raccordo puntuale con la Fisica Ontologica, la coerenza a strati, l'immunità dai paradossi e la riscrittura dei rami avanzati sono congetturati. Nessun risultato è ancora verificato per via computazionale, e nessuno è stato sottoposto a revisione esterna.

Chi volesse tenere a mente una sola frase potrebbe scegliere questa, che condensa l'intero programma. La Matematica Ontologica è il sistema nel quale ogni entità matematica viene definita come invariante della differenziazione dell'essere, e nel quale le regole dell'aritmetica, i numeri interi, i rapporti, i reali e i complessi compaiono come teoremi, ciascuno al livello di ontologia che gli compete.