I numeri complessi e la struttura tra implicito ed esplicito

I numeri complessi nacquero nel Cinquecento come un espediente di calcolo, quando gli algebristi italiani si accorsero che per risolvere certe equazioni conveniva far finta che il numero meno uno avesse una radice quadrata, e per tre secoli furono guardati con diffidenza, come testimonia l'aggettivo immaginario che ancora li accompagna. La Matematica Ontologica assegna loro un posto preciso e niente affatto fittizio, perché li ricava come invarianti di una struttura che la Fisica Ontologica introduce nel suo terzo strato, quella per cui ogni proprietà si trova tra uno stato implicito e uno esplicito. Siamo al livello quantistico, che prende dal terzo e dal quarto strato della fisica la sola distinzione tra implicito ed esplicito, restituisce loro le strutture che ne ricava e presuppone tutta la matematica costruita fin qui. La trama completa di cui il livello si serve è quella delle ampiezze, che è una realizzazione della proprietà S anteriore allo spazio fisico e indipendente da esso.

Gli assiomi del livello sono cinque e portano la lettera E. Il primo, E1, distingue gli stati e afferma che ogni determinazione è implicita, cioè non ancora entrata nel gioco dell'affermare e del negare, oppure esplicita, cioè affermata o confutata. È la distinzione ontologica di cui i tre valori V, F e N sono la logica, con N a segnare l'implicito. Il secondo, E2, riguarda la compresenza, e afferma che due determinazioni implicite compresenti formano una determinazione implicita composta, la cui esplicitazione porta il contributo di entrambe. È la lettura ontologica di ciò che i fisici chiamano sovrapposizione, e consiste nell'aggregazione, quella indicata da ▷, applicata a ciò che è ancora implicito.

Il terzo assioma, E3, introduce i passaggi e afferma che l'esplicitazione avviene per passaggi dall'implicito all'esplicito, e a ogni passaggio è associata un'ampiezza, una grandezza misurata in una trama completa, che dice quanto quel passaggio contribuisce. Il quarto, E4, introduce le fasi, e afferma che i passaggi possiedono un'orientazione reciproca, tale che componendo due passaggi le orientazioni si sommano, che a ogni passaggio corrisponde il passaggio di verso opposto, e che le orientazioni formano un ciclo continuo, nel quale si può avanzare per gradi piccoli a piacere fino a tornare al punto di partenza dopo un giro completo. Chiede inoltre che la composizione di due passaggi non nulli sia a sua volta non nulla, e che essa sia indifferente all'ordine, come accade a orientazioni che si sommano lungo un unico ciclo e ad ampiezze che si moltiplicano come grandezze. Il quinto, E5, riguarda il peso e verrà discusso nel modulo successivo.

La ventiduesima definizione, D22, chiama ampiezza orientata la coppia formata dall'ampiezza di un passaggio e dalla sua fase, e stabilisce che le ampiezze orientate si sommano quando i passaggi sono compresenti, secondo E2, e si moltiplicano quando i passaggi sono composti in successione, secondo E4. Si ottiene in questo modo un sistema di numeri che contiene i reali, corrispondenti ai passaggi privi di rotazione e ai loro opposti, e che è dotato di somma e di prodotto.

Il diciottesimo teorema afferma che questo sistema è il campo dei numeri complessi. L'argomento si appoggia a un risultato classico dimostrato da Ferdinand Georg Frobenius nel 1877, secondo il quale i sistemi di numeri che estendono i reali con una quantità finita di dimensioni conservando le leggi della somma e del prodotto, l'associatività e la possibilità di dividere sono tre soltanto, cioè i reali stessi, i complessi e i quaternioni scoperti da William Rowan Hamilton. I quaternioni vengono esclusi dal fatto che il loro prodotto dipende dall'ordine dei fattori, contro la commutatività richiesta da E4. I reali vengono esclusi dal fatto che in essi le orientazioni possibili sono due soltanto, il verso diretto e quello opposto, mentre E4 chiede un ciclo continuo, nel quale esiste in particolare il quarto di giro, sicché dei tre sistemi restano soltanto i complessi.

L'unità immaginaria, che si indica con la lettera i e che i manuali presentano come la radice quadrata di meno uno, riceve qui un significato trasparente. Essa è il passaggio di ampiezza unitaria ruotato di un quarto di giro, e la relazione per cui il suo quadrato vale meno uno dice semplicemente che due quarti di giro compongono mezzo giro, cioè il passaggio di verso opposto. Un numero complesso ha una parte reale e una parte immaginaria, e la prima misura quanto un passaggio contribuisce nel verso preso a riferimento, la seconda quanto contribuisce nel verso ruotato di un quarto di giro, cosicché il numero nel suo insieme descrive tanto l'entità quanto il modo dell'esplicitazione.

Lo stato del teorema va dichiarato con cura, a cominciare dal fatto che la deduzione dei complessi dalle richieste di E1 fino a E4 è derivata sotto condizione, poiché usa un teorema classico la cui dimostrazione vive nel livello spaziale. Ciò che resta da motivare è la richiesta che le orientazioni formino un ciclo continuo anziché ridursi a due versi, e questa richiesta è, per il momento, presa in prestito dal terzo strato della Fisica Ontologica, sicché le spetta lo stato di tarata. Il lavoro futuro consiste nel mostrare che la continuità del ciclo discende dalla struttura dell'esplicitazione su una trama completa, senza doverla postulare.

Il diciannovesimo teorema è il teorema fondamentale dell'algebra, il quale afferma che ogni equazione polinomiale, cioè ogni equazione formata da somme di potenze dell'incognita moltiplicate per coefficienti, possiede almeno una soluzione tra i numeri complessi. Ne segue che con i complessi il cammino delle estensioni successive, che aveva condotto dai naturali agli interi per poter sottrarre, dagli interi ai rapporti per poter dividere e dai rapporti ai reali per poter completare, giunge a un termine naturale, poiché nessuna equazione di questo genere richiede di uscire ancora. Il teorema ha lo stato di derivato sotto condizione, dato che tutte le dimostrazioni note adoperano la completezza dei reali.

Con questo teorema si conclude la costruzione della spina dorsale numerica, che dai naturali porta ai complessi passando per gli interi, per i rapporti e per i reali, e ogni anello della catena è stato ottenuto come invariante di una struttura più povera, senza che un solo numero venisse assunto in partenza. Il significato complessivo è che i complessi sono la matematica dei modi dell'esplicitazione, e questo spiega perché governino la meccanica quantistica, che la Fisica Ontologica vede nascere al terzo strato senza bisogno di postularla.