Il raccordo con ONTO e con la Fisica Ontologica

La Matematica Ontologica è una delle tre discese che partono dalla stessa cima, alle quali TheoryFlow aggiunge l'applicazione alla verifica delle affermazioni. ONTO scende verso il software e mostra che cosa accade a un linguaggio di programmazione e a una base di dati quando le classi dichiarate in anticipo vengono sostituite da proprietà che si aggregano. La Fisica Ontologica scende verso il mondo e tenta di ricostruire lo spazio, il tempo, le forze e le particelle. La matematica scende verso gli invarianti, cioè verso ciò che di ogni aggregato resta fermo. Le tre discese condividono il punto di partenza, le proprietà pure rette dal principio di non contraddizione, condividono la regola per cui ogni struttura va ricavata anziché postulata, e condividono l'impegno a dichiarare lo stato reale di ogni risultato.

Da ONTO la matematica riceve quasi tutto il proprio corredo concettuale. Ne riceve l'ontologia senza enti e senza contenitori, l'aggregazione mereologica, il criterio di identità epistemico che rende legittimo parlare dello stesso numero a proposito di aggregati diversi, la logica a tre valori con la sua asimmetria tra affermare e negare, e i due teoremi, quello sulla genericità come proprietà e quello sulla correlazione. Ne riceve anche un metodo di lavoro, che consiste nell'enunciare le leggi come schemi e nel farle controllare da un programma su tutte le istanze che si possono generare, pubblicando il risultato in un documento prodotto automaticamente e riproducibile da chiunque.

Vi sono due punti nei quali il rapporto con ONTO richiede una precisazione. Il primo riguarda le correlazioni, che in queste pagine reggono la definizione stessa di numero e che il linguaggio di ONTO non possiede come oggetti di prima classe, dal momento che vi compaiono soltanto come definizioni eseguite dal motore e come proprietà di espansione. Le correlazioni della matematica vanno dunque intese come schemi del metalinguaggio, cioè come costruzioni di cui si parla dall'esterno, alla pari dei giudizi di equivalenza con cui ONTO formula le proprie leggi logiche. Il secondo punto riguarda i numeri che ONTO già adopera, gli interi e i decimali del calcolatore, i quali vi figurano come ospiti, usati senza che l'ontologia li fondi. La Matematica Ontologica consente di interpretarli come la realizzazione efficiente dei numeri intesi come classi, e lascia aperta la possibilità, più impegnativa, di ridefinirli dentro il linguaggio come classi mereologiche a tutti gli effetti.

Il rapporto con la Fisica Ontologica si descrive bene strato per strato. Il primo strato della fisica, quello delle proprietà pure, è il terreno comune dal quale il livello base della matematica parte senza consumare altro. Il secondo strato, la topologia emergente, nella quale compaiono vicinanza e correlazione, fornisce al livello correlazionale la distanza come forma della differenza. Il terzo strato, lo spazio di Hilbert, e il quarto, la regola di Born, forniscono al livello quantistico la distinzione tra implicito ed esplicito e ricevono in cambio i numeri complessi, lo spazio degli stati e il peso. Il quinto strato, la geometria dello spazio, riceve i numeri reali e la geometria delle trame. L'ordine dei livelli, nel quale lo spaziale precede il quantistico, e quello degli strati, nel quale lo spazio fisico compare dopo lo spazio di Hilbert, restano compatibili perché il livello spaziale tratta la trama come forma, di cui le ampiezze del terzo strato sono una prima realizzazione e lo spazio fisico del quinto una realizzazione successiva. Gli strati dal sesto al decimo, dove compaiono la gravità, gli ottonioni, il gruppo G₂, i campi e le particelle, sono utenti della matematica e adoperano le strutture che essa ha costruito.

Un cenno merita il rapporto con la formalizzazione che la Fisica Ontologica presenta nel suo ventesimo capitolo, dove l'ontologia è raccolta in un sistema di assiomi fondato sul piano delle proprietà, sulla relazione di genericità tra proprietà e sull'aggregazione. Quel sistema e gli assiomi del livello base descrivono lo stesso terreno da due angolature, la prima guardando a come le proprietà si ordinano dalla più specifica alla più generica, la seconda guardando a come le determinazioni differiscono e si compongono. L'allineamento puntuale delle due notazioni, con la traduzione di ciascun assioma dell'una negli enunciati dell'altra, è un lavoro ancora da compiere e ha lo stato di congetturato.

Il rischio di un circolo, per cui la fisica userebbe una matematica che attende a sua volta la fisica, viene evitato dalla stratificazione, e l'obiettivo è quello di trasformare questa garanzia informale in un enunciato preciso, che chiamiamo teorema di coerenza a strati. Esso dovrebbe stabilire che ogni strato della fisica consuma soltanto livelli della matematica che non dipendono da strati successivi, e che ogni livello della matematica consuma soltanto strati della fisica che non dipendono da livelli successivi, in modo che l'intero edificio si possa percorrere dal basso senza mai trovare un piano che poggi su quello di sopra, e ha per ora lo stato di congetturato.

Vi è poi una verifica incrociata che darebbe al programma una solidità notevole. La fisica risponde dal basso alla domanda sul perché compaiano proprio certe strutture, mostrando per esempio che la regola di Born è la sola compatibile con gli strati precedenti. La matematica risponde dall'alto, mostrando che il peso quadratico è il solo invariante additivo della struttura dei passaggi. Se le due risposte, ottenute per vie indipendenti, coincidono su ogni struttura, il programma risulta chiuso su sé stesso nel senso migliore, mentre una discrepanza indicherebbe con precisione il punto da rivedere.

Il piano della verifica computazionale ricalca quello che ONTO ha già realizzato per la logica. Un programma genera tutti gli aggregati fino a una taglia fissata e tutte le correlazioni tra essi, e controlla per enumerazione che l'equinumerosità sia un'equivalenza, che il successore, la somma e il prodotto siano indifferenti alla scelta dei rappresentanti, che valgano la commutatività, l'associatività, la distributività e la cancellazione, e che l'ordine sia totale. Una seconda fase estende il controllo agli interi e ai rapporti, con la densità e la proprietà di Archimede su campioni finiti, e una terza affronta le trame campionate, con la realizzazione delle sezioni a una precisione data. Il risultato atteso è un documento delle leggi matematiche generato dallo script, nel quale ogni schema compare con il numero delle istanze controllate e delle eventuali discrepanze.

Occorre essere chiari su ciò che una verifica del genere può dare. Il controllo di una legge su tutti gli aggregati fino a una certa taglia resta cosa distinta dalla sua dimostrazione per ogni taglia, la quale richiede l'induzione, e serve a due scopi complementari, quello di scoprire subito un errore nelle definizioni, che un controesempio piccolo rivelerebbe, e quello di ancorare ogni enunciato a un procedimento eseguibile, in armonia con il principio per cui un giudizio numerico diventa vero quando la costruzione viene esibita. Fino a quando i programmi non saranno scritti ed eseguiti, nessun risultato di questa documentazione porterà l'etichetta di verificato.