Il peso e la probabilità

La probabilità è il ramo della matematica che più a lungo ha sofferto dell'incertezza sul proprio oggetto, giacché ancora oggi gli studiosi discutono se un numero come un mezzo, attribuito all'uscita di testa nel lancio di una moneta, descriva una frequenza osservata, un grado di fiducia di chi scommette o una tendenza delle cose. La Matematica Ontologica propone una risposta che discende dalla struttura del livello quantistico e che colloca la probabilità nel passaggio dall'implicito all'esplicito, come misura di quanto ciascun esito possibile partecipa all'esplicitazione.

Il quinto assioma del livello, E5, stabilisce che a ogni passaggio è associato un peso, il quale è un numero reale mai negativo, dipende soltanto dall'ampiezza e resta indifferente alla fase, si moltiplica quando due passaggi vengono composti in successione, e si somma quando più passaggi tra loro alternativi, cioè tali che l'esplicitarsi dell'uno escluda l'esplicitarsi dell'altro, vengono raccolti in un unico esito. La ventitreesima definizione, D23, chiama probabilità di un esito il suo peso diviso per il peso complessivo di tutti gli esiti alternativi che esauriscono l'implicito, in modo che le probabilità di tali esiti, sommate, diano uno.

Il ventesimo teorema, che chiamiamo teorema del peso, afferma che il peso di un passaggio è il quadrato della sua ampiezza. Una parte dell'argomento è elementare, e muove dall'osservazione che il peso, moltiplicandosi nella composizione e dipendendo con regolarità dalla sola ampiezza, deve essere una potenza dell'ampiezza, con un esponente da determinare, e poiché due passaggi alternativi che insieme esauriscono un passaggio unitario hanno ampiezze legate tra loro come i cateti di un triangolo rettangolo di ipotenusa uno, la richiesta che i loro pesi sommati diano uno costringe l'esponente a valere due, per il teorema di Pitagora, che il modulo sulla geometria dimostra per le trame piatte e che appartiene al livello spaziale, già a disposizione di quello quantistico. Questa parte ha lo stato di derivata sotto condizione.

La parte restante è più impegnativa, e riguarda il presupposto che le ampiezze di passaggi alternativi si compongano proprio secondo la regola di Pitagora. La matematica tradizionale possiede in proposito un risultato profondo, dimostrato da Andrew Gleason nel 1957, il quale stabilisce che, quando gli esiti alternativi sono almeno tre, la regola del quadrato è l'unica misura additiva possibile, senza altre ipotesi. Il teorema di Gleason viene qui preso in prestito, e la sua riformulazione entro gli assiomi del livello, con una dimostrazione che adoperi soltanto la struttura dei passaggi, non è stata ancora scritta. Per questa ragione il teorema del peso, nella sua forma generale, ha lo stato di tarato, e la Fisica Ontologica, che al quarto strato presenta la stessa regola con il nome di regola di Born come l'unica compatibile con il resto della struttura, attende dalla matematica la conferma che le due vie conducano allo stesso punto.

Dalla somma delle ampiezze, garantita da E2, e dal peso quadratico si ottiene la struttura che i matematici chiamano spazio di Hilbert, cioè uno spazio nel quale gli stati si sommano e si moltiplicano per numeri complessi e nel quale è definito un modo di misurare quanto due stati si sovrappongano. La completezza di questo spazio viene dalla completezza della trama. Lo spazio di Hilbert, che i manuali di meccanica quantistica introducono come un postulato, risulta così lo spazio degli invarianti della struttura tra implicito ed esplicito, e viene consegnato al terzo strato della Fisica Ontologica come un prodotto della matematica.

A questo livello i tre valori di verità cessano di essere soltanto un linguaggio per parlare dei giudizi e diventano una struttura. Un passaggio compiuto, il cui peso rispetto agli esiti considerati è uno, corrisponde al valore V. Un passaggio di ampiezza nulla, che non può avvenire, corrisponde al valore F. Un passaggio di ampiezza diversa da zero il cui esito non è ancora dato corrisponde al valore N. L'asimmetria della negazione riceve qui la sua spiegazione più chiara, poiché negare un passaggio significa giudicare che esso non avviene, e questo giudizio è cosa ben diversa dal percorrere il passaggio all'indietro, operazione che ne rovescia la fase e ne conserva l'ampiezza. La negazione non restituisce mai il vero per la ragione che negare è un giudizio su un passaggio, mentre a esplicitare è soltanto il passaggio stesso.

La probabilità classica, quella dei dadi, delle urne e delle statistiche, si ritrova come caso particolare, e precisamente come il caso in cui le fasi non hanno alcun ruolo perché tutti gli esiti considerati sono tra loro alternativi. In tale situazione valgono le regole enunciate da Andrej Kolmogorov nel 1933, per le quali la probabilità è un numero compreso tra zero e uno, vale uno per l'esito certo e si somma sugli esiti che si escludono, e queste regole sono conseguenze dirette di E5 e di D23. Quando poi gli esiti alternativi hanno tutti lo stesso peso, la probabilità di un evento si riduce al rapporto tra il numero degli esiti favorevoli e il numero di quelli possibili, secondo la definizione che Pierre Simon Laplace diede all'inizio dell'Ottocento, e questa forma appartiene per intero al livello base, perché adopera soltanto il contare e i rapporti.

Le altre nozioni fondamentali si lasciano riscrivere senza sforzo. La probabilità condizionata, cioè la probabilità di un evento una volta saputo che se ne è verificato un altro, è la probabilità ricalcolata dopo aver cambiato il campione, sostituendo all'intero ventaglio degli esiti quelli soltanto che sono compatibili con l'informazione acquisita, e mostra ancora una volta che un numero dipende dal termine di confronto. Un'attribuzione di probabilità che taccia il ventaglio degli esiti rispetto al quale è calcolata è un giudizio non apofantico. Due eventi si dicono indipendenti quando il peso del loro verificarsi congiunto è il prodotto dei pesi, il che riflette la struttura dell'accoppiamento già incontrata nel prodotto dei numeri.

Il ventunesimo teorema è la legge dei grandi numeri, dimostrata nella sua prima forma da Jacob Bernoulli, la quale afferma che, ripetendo molte volte una prova in condizioni indipendenti, la frequenza con cui un esito si presenta si avvicina alla sua probabilità, con uno scarto che diventa improbabile a piacere al crescere delle prove. Il teorema, che ha lo stato di derivato sotto condizione, spiega perché le frequenze osservate si possano usare per stimare i pesi, e riconcilia così la lettura della probabilità come peso dell'esplicitazione con la pratica di chi la misura contando. La probabilità risulta, in conclusione, lontana tanto da un'incertezza soggettiva quanto da una proprietà misteriosa delle cose, perché è la misura normalizzata di quanto ciascun passaggio partecipa all'aggregato degli esiti possibili.