La geometria come matematica condizionata

Per più di duemila anni la geometria è stata considerata la scienza dello spazio, e lo spazio una cornice necessaria entro la quale ogni cosa esiste, tanto che Immanuel Kant lo descrisse come una forma che la mente impone a ogni esperienza possibile. La Matematica Ontologica rovescia questa gerarchia, perché tratta la spazialità come una proprietà che gli aggregati possono avere o non avere, e fa della geometria lo studio degli aggregati che la possiedono. Tutto ciò che questo modulo espone appartiene dunque al livello spaziale e vale sotto la condizione che vi sia una trama, e una parte dei suoi enunciati richiede condizioni ulteriori che verranno dichiarate una per una.

Le nozioni elementari si definiscono con i mezzi già disponibili. Un punto è una determinazione di una trama, e continua a essere, come ogni determinazione, un luogo di differenza privo di sostanza propria, in sintonia con quanto sosteneva Alfred North Whitehead, per il quale i punti sono limiti ideali di relazioni estese. Un segmento è l'aggregato delle determinazioni che stanno fra due determinazioni date, una retta è il prolungamento coerente di un segmento nei due versi, e una circonferenza è l'aggregato delle determinazioni che hanno da una determinazione fissata, detta centro, una stessa distanza. In nessuna di queste definizioni compare un contenitore entro cui le figure sarebbero disegnate, giacché ciascuna figura è un aggregato caratterizzato dalle distanze tra le sue parti.

La ventiseiesima definizione, D26, chiama isometria una correlazione piena tra due aggregati di una trama che conserva tutte le distanze, e chiama congruenti due figure legate da un'isometria. È questa la forma che la correlazione assume quando la differenza possiede un grado, ed è la versione esigente di quel rispetto della differenza che al livello base si riduceva a non confondere le determinazioni. Le isometrie di una trama su sé stessa formano un gruppo, nel senso del modulo precedente, e le proprietà geometriche di una figura sono quelle che ogni isometria lascia intatte. Felix Klein propose nel 1872, nel celebre programma di Erlangen, di definire ogni geometria come lo studio degli invarianti di un gruppo di trasformazioni, e questa idea, che fu una svolta nella storia della disciplina, è il principio di invariantizzazione applicato alle trame.

Tra le trame ve ne sono alcune che godono di una proprietà speciale, quella di ammettere ingrandimenti, cioè correlazioni piene che moltiplicano tutte le distanze per uno stesso numero e che permettono a una figura di esistere in qualunque scala conservando la propria forma. Chiamiamo piatte le trame di questo genere, e ricordiamo che il matematico inglese John Wallis mostrò nel Seicento come l'esistenza di figure simili di grandezza diversa equivalga al quinto postulato di Euclide, quello delle parallele, attorno al quale si è svolta per secoli la discussione sui fondamenti della geometria. La geometria che si impara a scuola è la geometria delle trame piatte.

Il ventiquattresimo teorema è quello di Pitagora, secondo il quale in una trama piatta il quadrato costruito sul lato maggiore di un triangolo rettangolo equivale alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due. La dimostrazione più diretta adopera proprio gli ingrandimenti, perché l'altezza condotta dall'angolo retto divide il triangolo in due triangoli più piccoli che hanno la sua stessa forma, e il confronto delle proporzioni dà l'enunciato. Lo stato del teorema è derivato sotto una doppia condizione, la presenza di una trama e la sua piattezza. Sulle stesse trame si definisce l'angolo come il rapporto tra un arco di circonferenza e il raggio, rapporto che gli ingrandimenti lasciano invariato, e si definisce il numero indicato con la lettera greca π come il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro. Vale la pena osservare che in una trama non piatta questo rapporto varia con la grandezza della circonferenza, cosicché il valore costante di π è un contrassegno della piattezza.

Anche la dimensione, che l'intuizione considera un dato primario dello spazio, si lascia definire come un invariante, e in un modo che richiama direttamente il livello base. Si considerino in una trama piatta gli aggregati di determinazioni che distano tutte l'una dall'altra una stessa grandezza. Su una retta il più ampio di tali aggregati comprende due determinazioni, gli estremi di un segmento, su un piano ne comprende tre, i vertici di un triangolo equilatero, e nello spazio ordinario quattro, i vertici di un tetraedro regolare. Il venticinquesimo teorema afferma che questo massimo, diminuito di uno, è la dimensione della trama, e mostra come la dimensione si possa leggere contando quante differenze uguali una trama sia capace di ospitare tutte insieme, e ha lo stato di derivato sotto condizione.

Le trame non piatte sono legittime quanto le piatte. Nell'Ottocento Nikolaj Lobačevskij, János Bolyai e Bernhard Riemann costruirono geometrie nelle quali il postulato delle parallele cade, e in cui la somma degli angoli di un triangolo è maggiore o minore di due angoli retti, e Riemann insegnò a misurare lo scostamento dalla piattezza con una grandezza che chiamò curvatura. Nel linguaggio di queste pagine la curvatura è l'invariante che registra quanto una trama si discosti dall'ammettere ingrandimenti, e la domanda su quale geometria sia quella vera perde il carattere di disputa di principio che ebbe ai tempi di Kant, perché ogni trama ha la propria geometria e stabilire quale trama sia quella dell'universo osservabile è una questione che si decide a posteriori. La Fisica Ontologica, al sesto strato, legge infatti la gravità come curvatura.

Rimane da dire della topologia, la parte più generale della geometria, che studia le proprietà conservate da ogni deformazione continua, come l'essere fatto di un solo pezzo o l'avere un buco, e che per questo viene descritta scherzosamente come la geometria dei fogli di gomma. La topologia si serve della sola nozione di vicinanza, senza richiedere che la vicinanza abbia una misura, cosicché sta più in basso della geometria delle distanze e più vicino alla differenza qualitativa. Una struttura topologica minima, quella che i matematici chiamano di tipo T0, chiede soltanto che per ogni coppia di determinazioni distinte esista un intorno che ne veda una soltanto, ed è la traduzione più sobria possibile dell'idea che due determinazioni sono due perché qualcosa le distingue.

La scala che dalla differenza conduce alla misura attraversa dunque quattro gradini, la topologia, che registra la vicinanza, la distanza, che la confronta, la trama, che la rende coerente e completa, e la geometria vera e propria, che ne studia gli invarianti. La riscrittura sistematica della topologia e della geometria differenziale nel lessico di questa disciplina è appena avviata e ha lo stato di congetturata, mentre i risultati classici qui richiamati mantengono lo stato che la tradizione ha loro assegnato, con l'avvertenza che ciascuno vale dove vale la condizione da cui dipende.