L'algebra come scienza delle strutture

L'algebra moderna ha smesso da tempo di occuparsi soltanto di equazioni e studia le strutture, cioè i sistemi formati da certi elementi e da certe operazioni che rispettano regole date, come i gruppi, gli anelli, i campi e gli spazi vettoriali. Il suo metodo consiste nell'isolare le regole e nel dimostrare ciò che ne segue a prescindere da che cosa siano gli elementi, ed è un metodo che la Matematica Ontologica riconosce come proprio, perché lavorare a meno di ciò che gli elementi sono è esattamente il gesto dell'invariantizzazione. Quanto segue appartiene in gran parte al livello base, e si serve dei livelli superiori soltanto dove viene detto.

La ventiquattresima definizione, D24, chiama struttura un aggregato accompagnato da una o più correlazioni che lo riguardano, per esempio da un'operazione che a ogni coppia di determinazioni ne associa una terza, e chiama isomorfismo tra due strutture una correlazione piena che rispetta, oltre alla differenza, anche le operazioni. Due strutture isomorfe sono indistinguibili con i mezzi di cui l'algebra dispone, e in accordo con il criterio di identità epistemico ciò che l'algebra chiama il gruppo con tre elementi o il campo dei rapporti è il profilo comune a tutte le strutture tra loro isomorfe. L'uso corrente dei matematici, che parlano di un oggetto a meno di isomorfismo, trova qui la sua giustificazione ontologica, giacché l'oggetto algebrico è un invariante epistemico alla pari del numero.

La nozione più importante dell'algebra, quella di gruppo, sorge da una domanda semplice, che riguarda i modi in cui un aggregato si lascia correlare pienamente con sé stesso. Una correlazione piena di un aggregato su di sé, che chiamiamo autocorrelazione, è un rimescolamento delle sue determinazioni che non ne confonde alcuna, e quando l'aggregato porta una struttura si chiamano simmetrie le autocorrelazioni che la rispettano. Le autocorrelazioni di un aggregato possiedono tre proprietà evidenti, poiché due di esse eseguite in successione ne danno una terza, tra esse c'è quella che lascia ogni determinazione al proprio posto, e ciascuna si può disfare eseguendola a rovescio. La venticinquesima definizione, D25, chiama gruppo qualunque sistema di autocorrelazioni che contenga l'identità e sia chiuso rispetto alla successione e al rovesciamento.

I manuali definiscono il gruppo in astratto, come un sistema dotato di un'operazione associativa, di un elemento neutro e di inversi, e il ventiduesimo teorema, che risale ad Arthur Cayley, afferma che le due nozioni coincidono, nel senso che ogni gruppo astratto è isomorfo a un gruppo di autocorrelazioni di qualche aggregato. Nella Matematica Ontologica il teorema ha un significato fondativo, perché mostra che gli assiomi di gruppo, lontano dall'essere regole scelte a tavolino, descrivono ciò che le simmetrie di qualunque aggregato hanno in comune. Il suo stato è derivato, e per i gruppi con una quantità finita di elementi esso vive per intero nel livello base.

Va notato un fatto che a prima vista sorprende. L'aggregazione, come stabilito dall'assioma B4, è indifferente all'ordine, e da questa indifferenza discende la commutatività della somma e del prodotto tra i numeri. La successione di due autocorrelazioni dipende invece dall'ordine in cui vengono eseguite, come si constata già rimescolando tre determinazioni in due modi diversi. La non commutatività, che l'algebra incontra a ogni passo e che in fisica ha un ruolo decisivo, sorge dunque nel momento in cui si passa dal comporre parti al comporre correlazioni, e segnala che una correlazione è un modo di attraversare un aggregato e che l'ordine degli attraversamenti lascia traccia. I passaggi del livello quantistico fanno eccezione, perché le loro orientazioni si sommano lungo un unico ciclo, ed è per questo che i numeri complessi conservano la commutatività.

Le altre strutture fondamentali sono già state incontrate senza che ricevessero un nome generale. Un anello è una struttura con una somma e un prodotto che obbediscono alle leggi dimostrate per gli interi, e gli interi ne sono l'esempio primo. Un campo è un anello nel quale si può dividere per ogni elemento diverso da zero, come accade per i rapporti, per i reali e per i complessi. Uno spazio vettoriale è una struttura i cui elementi si possono sommare tra loro e moltiplicare per i numeri di un campo, come accade per le ampiezze orientate del livello quantistico e per gli spostamenti in una trama. In ciascun caso la definizione astratta raccoglie le leggi che un esempio concreto, costruito nei moduli precedenti, soddisfa per teorema.

Il principio di invariantizzazione illumina anche la costruzione che in algebra si chiama quoziente, e che consiste nel trattare come uguali elementi che una certa relazione dichiara equivalenti. L'aritmetica dell'orologio, nella quale dopo le dodici si ricomincia dall'una, è il quoziente degli interi rispetto alla relazione che identifica due numeri quando differiscono per un multiplo di dodici, e i suoi elementi sono profili di interi osservati con un campione più grossolano. Tutta la catena che ha condotto dagli aggregati ai naturali, dalle coppie agli interi e dalle proporzioni ai rapporti è una successione di quozienti, e l'algebra dei quozienti è perciò il metodo stesso della Matematica Ontologica reso oggetto di studio. Il ventitreesimo teorema, dovuto a Joseph Louis Lagrange, afferma che in un gruppo con una quantità finita di elementi il numero degli elementi di ogni sottogruppo divide il numero degli elementi del gruppo, e la sua dimostrazione, che ripartisce il gruppo in classi equinumerose, è un'applicazione esemplare di questo metodo, e ha lo stato di derivato.

Quando l'aggregato di cui si studiano le simmetrie è una trama, le simmetrie possono variare con continuità, come le rotazioni, e i gruppi che ne risultano, detti gruppi continui o gruppi di Lie dal nome del matematico norvegese Sophus Lie, appartengono al livello spaziale. I quaternioni, che il teorema sui complessi aveva scartato perché non commutativi, ritrovano qui il loro posto come descrizione delle rotazioni di una trama a tre dimensioni, e gli ottonioni, un sistema di numeri a otto dimensioni che rinuncia anche all'associatività, completano con i reali, con i complessi e con i quaternioni stessi la breve lista dei sistemi nei quali si può dividere.

La Fisica Ontologica assegna a queste strutture un ruolo centrale, poiché al settimo strato adopera l'algebra degli ottonioni e all'ottavo il loro gruppo di simmetria, indicato con G₂, per ricostruire le forze della natura. La Matematica Ontologica può garantire, per il momento, che tali strutture esistono e possiedono le proprietà che la tradizione ha dimostrato, mentre la tesi che esse siano gli invarianti imposti dalla struttura dell'essere a quei livelli, e che nessun'altra scelta sarebbe stata compatibile, ha lo stato di congetturata e costituisce uno degli obiettivi più ambiziosi del programma.