L'infinito e le classi

Nessun argomento ha diviso i matematici quanto l'infinito, fin da quando Aristotele distinse un infinito potenziale, quello di un processo che si può sempre proseguire, da un infinito attuale, quello di una totalità compiuta che contiene infinite cose tutte insieme, e ritenne legittimo soltanto il primo. Alla fine dell'Ottocento Georg Cantor fece dell'infinito attuale il fondamento della teoria degli insiemi, sulla quale poggia la matematica odierna, e scoprì che di infiniti ve ne sono di grandezze diverse. La Matematica Ontologica, avendo rinunciato agli insiemi, deve dichiarare la propria posizione, e questa discende senza forzature dagli assiomi del livello base.

L'assioma di generazione stabilisce che ogni aggregato si ottiene da quello nullo aggiungendo una determinazione alla volta, e ne segue che ogni aggregato è finito. L'assioma di inesauribilità stabilisce che per ogni aggregato esiste una determinazione che non vi entra, e ne segue che nessun aggregato raccoglie tutto. I due assiomi, presi insieme, descrivono precisamente l'infinito potenziale, perché garantiscono che si possa sempre andare oltre ed escludono che l'andare oltre si concluda in una totalità. Nell'essere, così come queste pagine lo descrivono, un aggregato infinito non si dà.

Ciò che la tradizione chiama l'insieme dei numeri naturali viene sostituito da una classe, cioè da un selettore, la regola che riconosce un numero quando lo incontra. La differenza è sostanziale, perché un aggregato è fatto delle sue parti ed esiste in quanto esse esistono, mentre una classe è una proprietà, e come tale sta dalla parte dell'intensione, cioè del significato, senza che le cose a cui si applica debbano essere radunate in un tutto. Dire che una legge vale per tutti i numeri significa allora dire che vale per qualunque numero il selettore ammetta, e il principio di induzione, che è la forma numerica dell'assioma di generazione, è lo strumento che consente di dimostrare affermazioni di questo tenore senza mai percorrere una totalità infinita.

La stessa distinzione tiene lontano il paradosso di Russell, che aveva colpito la costruzione di Frege. Il paradosso considera l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi e chiede se esso contenga sé stesso, ottenendo una contraddizione qualunque sia la risposta. Perché la domanda abbia senso occorre che un insieme possa essere elemento di un insieme, e in particolare di sé. Nella Matematica Ontologica in un aggregato entrano determinazioni, e una classe, essendo una regola, è cosa di genere diverso sia dalle determinazioni sia dagli aggregati, sicché la frase che la vorrebbe parte di sé stessa è mal formata e riceve, nella logica ontologica, il valore N. La logica di ONTO era stata del resto concepita anche per questo, dato che il terzo valore nasce per disinnescare i paradossi dell'autoriferimento, come quello del mentitore.

Sarebbe imprudente presentare questa osservazione come una dimostrazione di coerenza. Ciò che si può affermare con sicurezza è che gli assiomi del livello base sono soddisfatti dalle costruzioni finite della matematica ordinaria e hanno perciò la stessa solidità dell'aritmetica di Peano, e che gli assiomi del livello spaziale hanno la solidità dell'analisi classica. Kurt Gödel dimostrò nel 1931 che un sistema capace di esprimere l'aritmetica non può provare la propria coerenza con i soli propri mezzi, e questo limite riguarda la Matematica Ontologica come qualunque altro sistema, cosicché la tesi che le classi mereologiche siano immuni da contraddizioni conserva lo stato di congetturata.

Lo stesso Gödel dimostrò che in ogni sistema di questo genere esistono enunciati aritmetici che non si possono né dimostrare né confutare. La tradizione, che ragiona con due valori, è costretta a dire che tali enunciati sono veri oppure falsi benché indecidibili, e si trova a dover spiegare in che cosa consista la verità di ciò che nessuna dimostrazione raggiunge. La logica a tre valori offre una descrizione più aderente, per la quale un enunciato indecidibile rispetto a certi assiomi ha, rispetto a essi, il valore N, e potrà passare a V o a F soltanto quando un'informazione ulteriore verrà aggiunta. Questa lettura dei teoremi di incompletezza è una proposta interpretativa e ha lo stato di congetturata.

Resta da esaminare la scoperta più celebre di Cantor, quella per cui i numeri reali sono più numerosi dei naturali. L'argomento, detto della diagonale, mostra che, data una qualunque successione di numeri reali, si può costruire un numero reale che differisce dal primo termine nella prima cifra decimale, dal secondo nella seconda, e così via, e che dunque non compare nella successione. Il ventiseiesimo teorema enuncia questo risultato nella forma che la Matematica Ontologica può sottoscrivere, e cioè che nessuna successione esaurisce i numeri reali, perché da ogni successione se ne ricava uno nuovo. La dimostrazione è costruttiva, il suo stato è derivato sotto condizione, e il suo significato è che l'inesauribilità, che al livello base riguardava gli aggregati rispetto all'essere, si ripresenta al livello spaziale come inesauribilità delle sezioni rispetto a ogni elenco.

Cantor ne trasse una conclusione più forte, cioè che esista una totalità compiuta dei reali la cui grandezza infinita supera quella della totalità dei naturali, e su di essa costruì una gerarchia senza fine di infiniti sempre maggiori. La Matematica Ontologica si arresta un passo prima, perché le totalità compiute di cui quella conclusione parla non figurano tra le cose che essa ammette, e considera la gerarchia degli infiniti attuali, insieme ai principi che la governano, tra cui il cosiddetto assioma della scelta, come una teoria esterna al proprio perimetro. Si astiene dal dichiararla falsa, giacché per farlo occorrerebbe una confutazione, e le assegna il valore che spetta ai giudizi privi di riferimento.

Questa scelta ha un costo che va detto, poiché alcune parti della matematica contemporanea adoperano in modo essenziale gli infiniti attuali, e la loro riscrittura in termini di classi e di procedimenti proseguibili richiede in certi casi di indebolire gli enunciati o di sostituire un teorema di esistenza con un procedimento di approssimazione. L'esperienza delle scuole costruttive del Novecento, che hanno ricostruito in questo spirito gran parte dell'analisi, induce a ritenere che la matematica di cui le scienze si servono sopravviva intatta alla traduzione, e tuttavia la verifica puntuale di questa aspettativa, ramo per ramo, è un lavoro ancora da svolgere.