I numeri interi

I numeri naturali permettono di sommare senza limiti e lasciano invece scoperta l'operazione inversa, dato che togliere cinque da tre non produce alcun numero con cui si conti. La tradizione risolve la difficoltà aggiungendo i numeri negativi, che per secoli parvero sospetti proprio perché nessun mucchio di oggetti ne possiede meno di zero, e la Matematica Ontologica mostra che essi si costruiscono con i soli mezzi del livello base, come profili di un tipo nuovo, senza che all'essere venga sottratto alcunché.

La costruzione richiede prima un risultato tecnico, il quinto lemma, che porta il nome di cancellazione. Se A ▷ X è equinumeroso a B ▷ X, dove X non ha determinazioni in comune né con A né con B, allora A è equinumeroso a B. La dimostrazione procede per generazione su X, giacché quando X è l'aggregato nullo non c'è nulla da provare, e quando X si ottiene da un aggregato più piccolo aggiungendo una determinazione, la terza condizione del teorema di Peano, per la quale numeri con lo stesso successore coincidono, consente di togliere quella determinazione da entrambi i lati e di ricondursi al caso precedente. Il significato ontologico del lemma è che aggiungere la stessa differenza a due aggregati non può mascherare la differenza che già li separava, e il suo stato è derivato.

L'ottava definizione, D8, considera coppie di aggregati ⟨A, B⟩ e dichiara equivalenti due coppie ⟨A, B⟩ e ⟨A′, B′⟩ quando la somma incrociata dà lo stesso numero, cioè quando [A] + [B′] coincide con [A′] + [B]. Per intendere la definizione si pensi alla coppia come a un bilancio, nel quale A rappresenta ciò che si ha e B ciò che si deve, e si osservi che due bilanci sono equivalenti quando lasciano nella stessa situazione, come accade a chi possiede sette e deve quattro rispetto a chi possiede cinque e deve due. Il sesto lemma afferma che questa relazione è un'equivalenza, e per la proprietà di trasmissione lungo le catene adopera la cancellazione. La nona definizione, D9, chiama intero la classe di equivalenza di una coppia, che scriviamo [A, B].

Un intero è dunque il profilo di una differenza tra due numeri, ciò che resta fermo quando a entrambi i termini si aggiunge la stessa quantità, e i numeri negativi sono i profili delle coppie nelle quali il secondo termine supera il primo. Nulla viene distrutto e nulla scende sotto lo zero dell'essere, perché ciò che si è aggiunto è un piano ulteriore di profili, costruito sopra quello dei numeri naturali con lo stesso procedimento con cui questi erano stati costruiti sopra gli aggregati.

La decima definizione, D10, introduce le operazioni e stabilisce che la somma di [A, B] e [C, D] è l'intero la cui coppia ha per primo termine la somma dei primi termini e per secondo termine la somma dei secondi, l'opposto di [A, B] è [B, A], cioè il bilancio con i ruoli scambiati, e il prodotto di [A, B] per [C, D] ha per primo termine [A] · [C] + [B] · [D] e per secondo termine [A] · [D] + [B] · [C]. Quest'ultima formula, che a prima vista sembra arbitraria, è l'unica che rispetti la distributività, e contiene in sé la regola dei segni che a scuola viene di solito imposta senza spiegazione. Il prodotto di due debiti risulta un credito perché, moltiplicando la coppia ⟨∅, B⟩ per la coppia ⟨∅, D⟩, la formula colloca il prodotto [B] · [D] nel primo termine, quello di ciò che si ha. Il settimo lemma garantisce che le tre operazioni sono indifferenti alla scelta delle coppie rappresentanti, e usa a questo fine la cancellazione e la distributività dei naturali.

L'ottavo teorema riassume la struttura che ne risulta e afferma che gli interi, con la somma e il prodotto appena definiti, formano ciò che in algebra si chiama anello commutativo, vale a dire un sistema nel quale la somma e il prodotto godono delle leggi consuete e ogni elemento possiede un opposto che sommato a esso dà zero. Essi sono inoltre ordinati, ponendo [A, B] minore o uguale a [C, D] quando [A] + [D] è minore o uguale a [C] + [B], e l'ordine è discreto, nel senso che tra un intero e il suo successivo non ve ne sono altri. Infine i numeri naturali si ritrovano dentro gli interi attraverso la corrispondenza che manda [A] in [A, ∅], la quale conserva la somma, il prodotto e l'ordine, cosicché passare agli interi estende l'aritmetica precedente senza alterarla, e il teorema ha lo stato di derivato.

L'intera costruzione illustra bene il principio di invariantizzazione enunciato in apertura. Per ottenere una specie nuova di numeri si è presa una struttura del piano inferiore, la coppia di aggregati, si è individuata la relazione rispetto alla quale certe coppie sono indistinguibili, e si è chiamato numero ciò che quelle coppie hanno in comune. Lo stesso gesto, ripetuto con una relazione diversa, produrrà nel prossimo modulo i rapporti, e ripetuto ancora, a un livello più alto, produrrà i numeri reali.