Obiezioni e questioni aperte

Il patto di onestà che regge l'intero programma impone di raccogliere in un unico luogo le obiezioni più serie che si possono muovere alla Matematica Ontologica e le questioni che essa non ha ancora risolto, affinché il lettore possa valutarla per ciò che è, un cantiere con alcune parti solide e altre appena tracciate. Le obiezioni vengono presentate nella forma più forte che si è saputa dare loro, e le risposte sono accompagnate dall'indicazione di quanto siano conclusive.

La prima obiezione è quella di circolarità, e sostiene che non si possa parlare di aggregati, di parti e di aggiunte successive senza avere già in mente i numeri, cosicché l'aritmetica verrebbe presupposta proprio da ciò che dovrebbe fondarla. La risposta è che nessuna definizione del livello base adopera un termine numerico, giacché l'equinumerosità è definita attraverso l'accostamento senza resti, la finitezza attraverso il principio di generazione, e il numero come profilo di equinumerosità. Resta vero che chi scrive e chi legge possiedono già i numeri e se ne servono per orientarsi, e che l'induzione compare nel metalinguaggio con cui si ragiona sul sistema, il che è inevitabile in ogni fondazione e viene qui riconosciuto apertamente. La risposta è conclusiva quanto alle definizioni e lascia aperta la questione filosofica del rapporto tra il sistema e chi lo costruisce.

La seconda obiezione chiede perché si debbano accettare proprio questi assiomi. La giustificazione offerta è che ciascuno trascrive un tratto dell'essere differenziato, e che senza differenza non sarebbe possibile nemmeno formulare un pensiero, cosicché la differenza ha il carattere di una condizione che ogni discorso presuppone. L'argomento sostiene bene i primi tre assiomi del livello base e con forza minore gli altri, in particolare l'inesauribilità e l'accoppiamento, per i quali una giustificazione indipendente è ancora da scrivere. È aperta anche la questione se i nove assiomi siano tra loro indipendenti o se qualcuno si lasci ricavare dagli altri.

La terza obiezione riguarda il carattere epistemico attribuito ai numeri. Se i numeri sono profili che abitano il piano della conoscenza, sembra che la matematica descriva il nostro modo di conoscere l'essere anziché l'essere stesso, e che il titolo di matematica ontologica sia di conseguenza usurpato. La risposta è che i profili sono epistemici quanto all'identità e ontologici quanto al fondamento, perché ciò che rende equinumerosi due aggregati è il modo in cui l'essere vi si è effettivamente differenziato, e nessuna convenzione potrebbe rendere equinumerosi due aggregati che non lo sono. La tensione va comunque dichiarata, e una trattazione più fine del rapporto tra i due piani, che si appoggi alla teoria della conoscenza di ONTO, è tra i compiti futuri.

La quarta obiezione riguarda le correlazioni, sulle quali poggia la definizione di numero e che nel linguaggio di ONTO non sono oggetti. Si è risposto che esse sono schemi del metalinguaggio, costruiti con l'assioma dell'accoppiamento come aggregati di coppie, e la risposta regge sul piano formale. Resta da stabilire se convenga arricchire ONTO di una nozione nativa di correlazione o mantenere la separazione attuale, e la scelta dipenderà dall'esperienza che si farà scrivendo i programmi di verifica.

La quinta obiezione osserva che la proprietà spaziale, e in particolare la completezza, viene assunta anziché dimostrata, e che in questo modo il continuo rientra dalla finestra dopo essere stato accompagnato alla porta. La risposta distingue due modi di assumere, giacché la tradizione assume il continuo come un dato valido ovunque, mentre qui si assume che possano darsi aggregati dotati di una certa proprietà e si dimostra che in essi il continuo è presente, lasciando alla Fisica Ontologica il compito di mostrare come quella proprietà si depositi. La differenza è reale, e tuttavia l'obiezione coglie un punto, perché fino a quando la fisica non avrà derivato la completezza dai propri strati, il livello spaziale rimarrà appoggiato a una condizione della quale si conosce la coerenza e si attende ancora di conoscere la realizzazione.

La sesta obiezione riguarda il costo della logica a tre valori, che impedisce di ottenere l'esistenza di un oggetto dalla sola confutazione della sua inesistenza. Chi la muove teme che una parte della matematica classica vada perduta. La risposta è che per il livello base nulla va perduto, che per il livello spaziale l'esistenza è garantita dalla proprietà dell'essere e il calcolo fornisce il valore, e che le scuole costruttive hanno già mostrato come ricostruire in questo spirito l'analisi di uso comune. Rimane da fare l'inventario preciso dei teoremi classici che richiedono una riformulazione, e questo inventario non esiste ancora.

Accanto alle obiezioni vi sono i risultati il cui stato è dichiaratamente provvisorio. La regola del peso quadratico, nella sua forma generale, è tarata sul teorema di Gleason e attende una dimostrazione interna. La continuità del ciclo delle fasi, da cui dipende la comparsa dei numeri complessi, è presa in prestito dal terzo strato della fisica. La coincidenza tra la distanza assunta al livello correlazionale e la vicinanza che la fisica fa emergere è congetturata, così come il teorema di coerenza a strati, l'immunità delle classi mereologiche dai paradossi, la lettura a tre valori dei teoremi di incompletezza e la tesi che gli ottonioni e il gruppo G₂ siano strutture imposte dall'essere a quei livelli.

Vi sono infine interi territori che la riscrittura non ha ancora toccato e che vanno elencati per dare la misura del lavoro. Tra questi figurano la teoria dei numeri oltre i suoi teoremi elementari, la combinatoria, che studia i modi di disporre e di scegliere e che appartiene con ogni evidenza al livello base, la teoria generale della misura, le equazioni differenziali, l'analisi complessa, la geometria differenziale, la topologia algebrica, la statistica, la teoria della computazione, che ha con il metodo di verifica un legame naturale, e la stessa logica matematica riletta con tre valori. Per ciascuno di essi la strada è indicata dal principio di invariantizzazione e dall'assegnazione a un livello, e la percorrenza è ancora tutta da compiere.

Il programma di lavoro che ne discende ha un ordine naturale. Viene per prima la stesura integrale delle dimostrazioni del livello base, che in queste pagine sono tracciate nei passi essenziali, insieme ai programmi che ne controllano gli schemi. Segue l'allineamento con i capitoli tecnici della Fisica Ontologica, a cominciare dal secondo strato, dal quale dipende la solidità del livello correlazionale. Vengono poi la dimostrazione interna della regola del peso, la riscrittura sistematica dell'analisi e dei rami ancora intatti, e da ultimo il teorema di coerenza a strati, che chiuderebbe il cerchio tra la matematica e la fisica. Fino ad allora la Matematica Ontologica va giudicata come ciò che dichiara di essere, una proposta di fondazione con un nucleo aritmetico derivato e una periferia in costruzione.