Che cos'è un numero

Con i primitivi e gli assiomi del livello base si può finalmente affrontare la domanda che dà il titolo a questo modulo, e la si affronta senza mai adoperare, nelle definizioni, le parole uno, due, tre o qualunque espressione che le sottintenda. Il vizio che ogni fondazione dell'aritmetica rischia di contrarre consiste infatti nel dire che un aggregato è fatto di un certo numero di determinazioni e poi nel definire il numero a partire da quella frase, con il risultato di presupporre ciò che si voleva costruire, e la strada per evitarlo passa per una nozione che viene prima del contare e che chiamiamo correlazione.

La prima definizione, che indichiamo con D1, stabilisce che una correlazione da un aggregato A a un aggregato B è un legame che accompagna ogni determinazione di A a una determinazione di B rispettando la differenza nei due versi, in modo che due determinazioni di A differiscano esattamente quando differiscono quelle che le accompagnano in B. Per non introdurre di soppiatto l'idea di funzione, che sarebbe un primitivo in più, la correlazione viene costruita con l'assioma dell'accoppiamento, come un aggregato di coppie ⟨x, y⟩ nel quale ogni determinazione di A compare come primo termine di una coppia e due coppie che abbiano lo stesso primo termine coincidono. Al livello base, dove la differenza è soltanto qualitativa, rispettarla significa non confondere mai due determinazioni distinte, mentre ai livelli superiori, dove la differenza possiede un grado, la stessa richiesta diventerà assai più esigente.

Una correlazione si dice piena quando ogni determinazione di B è raggiunta, cioè compare come secondo termine di qualche coppia. La seconda definizione, D2, dichiara equinumerosi due aggregati A e B, e scrive A ≈ B, quando esiste una correlazione piena dall'uno all'altro. L'immagine che conviene tenere a mente è quella di chi apparecchia una tavola e, senza saper contare, si accorge che le forchette sono esattamente quante ne servono perché ne ha posata una accanto a ogni piatto, giacché l'equinumerosità è proprio questo accostamento senza resti, che si può constatare prima di possedere qualunque numero e che anzi ne costituisce la sorgente.

Il primo lemma afferma che l'equinumerosità è una relazione di equivalenza, vale a dire che ogni aggregato è equinumeroso a sé stesso, che la relazione vale nei due versi e che si trasmette lungo le catene. La dimostrazione è immediata, poiché ogni aggregato è correlato a sé dalle coppie ⟨x, x⟩, ogni correlazione piena letta a rovescio è ancora una correlazione piena grazie al fatto che la differenza viene rispettata in entrambi i versi, e due correlazioni piene messe in fila ne compongono una terza, e il lemma riceve con ciò lo stato di derivato.

La terza definizione, D3, è il cuore dell'intera costruzione. Il numero di un aggregato A, che scriviamo [A], è la classe di equinumerosità di A, cioè il selettore che ammette tutti e soli gli aggregati equinumerosi ad A. Un numero è dunque un profilo, ciò che un aggregato ha in comune con tutti quelli che gli si lasciano accostare senza resti, e si ottiene dimenticando quali determinazioni si abbiano davanti e trattenendo soltanto quanta differenza vi sia raccolta. Dire che un aggregato ha un certo numero significa dire che supera la prova di accostamento con un aggregato preso a campione, e questa osservazione, che introduce la figura del campione, tornerà a ogni livello, perché in tutta la Matematica Ontologica attribuire un numero è un atto che coinvolge due termini, ciò che viene misurato e ciò con cui lo si misura.

Chi conosce la storia dei fondamenti riconoscerà in D3 la definizione proposta da Gottlob Frege alla fine dell'Ottocento, secondo la quale il numero è la classe delle classi equinumerose, e ricorderà che quel progetto naufragò sul paradosso scoperto da Bertrand Russell, il quale mostrò come l'uso disinvolto di insiemi di insiemi conduca a contraddizioni. La definizione ritrova qui la sua legittimità per una ragione precisa, dato che una classe mereologica è una regola di selezione applicata agli aggregati e resta sempre distinta da essi, cosicché una classe non entra mai in un aggregato e la domanda da cui il paradosso prende le mosse, se una classe contenga sé stessa, non si lascia nemmeno formulare. Che questa separazione basti a tenere lontana ogni contraddizione è una tesi argomentata e ancora priva di una dimostrazione formale, per cui le spetta lo stato di congetturata, e il modulo sull'infinito e sulle classi la riprende con più agio.

La quarta definizione, D4, introduce lo zero e il successore. Lo zero è il numero dell'aggregato nullo, cioè [∅], il profilo dello schema nel quale nessuna differenziazione è stata ancora raccolta. Il successore di un numero [A], che scriviamo S[A], è il numero dell'aggregato A ▷ x, dove x è una determinazione che differisce da tutte quelle di A e la cui esistenza è garantita dall'assioma di inesauribilità. Il successore dello zero riceve il nome di uno, il successore di uno il nome di due, e così di seguito, sicché i nomi dei numeri arrivano per ultimi, come abbreviazioni di profili già costituiti.

Perché la definizione del successore abbia senso occorre che il risultato sia indifferente alla scelta dell'aggregato che rappresenta il numero e della determinazione che vi si aggiunge, ed è quanto assicura il secondo lemma. Se A e B sono equinumerosi, se x differisce da tutte le determinazioni di A e se y differisce da tutte quelle di B, allora A ▷ x e B ▷ y sono equinumerosi. Basta infatti prendere la correlazione piena che lega A a B e aggiungervi la coppia ⟨x, y⟩, e il nuovo legame rispetta la differenza perché x e y differiscono da tutto ciò che c'era prima. Anche questo lemma ha lo stato di derivato, e con esso il numero, lo zero e il successore sono a disposizione senza che alcuna nozione numerica sia stata presupposta.