Il lessico della riscrittura e i quattro livelli

Riscrivere la matematica significa anzitutto tradurla, e una traduzione seria comincia fissando le corrispondenze tra le parole della lingua di partenza e quelle della lingua di arrivo, così che il lettore sappia sempre che cosa è diventato un concetto familiare una volta passato dall'altra parte. La regola che governa tutte le traduzioni è una sola e la chiamiamo principio di invariantizzazione, secondo il quale un'entità matematica è ammessa nella Matematica Ontologica quando viene definita come invariante di una struttura del livello sottostante, cioè come ciò che rimane identico in tutte le realizzazioni di quella struttura, senza che nella definizione entri di nascosto una nozione numerica ancora da costruire.

L'elemento e l'ente dei manuali diventano la determinazione, il luogo in cui l'essere si differenzia, mentre l'insieme e la relazione di appartenenza diventano l'aggregato e l'aggregazione, che compone le parti in un tutto privo di involucro. L'uguaglianza, che la tradizione tratta come un fatto primitivo, diventa identità di profili, vale a dire l'impossibilità di distinguere due aggregati con i soli mezzi di cui un certo livello dispone, in accordo con il criterio di identità epistemico di ONTO. La funzione diventa correlazione, un legame che accompagna le determinazioni di un aggregato a quelle di un altro rispettandone le differenze, e riprende ciò che ONTO chiama espansione e che il suo secondo teorema riassume nella scrittura y = f(x + k), dove un metodo applicato a un riferimento e a un modificatore produce un risultato.

Le espressioni per ogni e esiste, che i logici chiamano quantificatori e che presuppongono un dominio di individui sui quali far scorrere una variabile, lasciano il posto alle classi mereologiche, che ONTO chiama anche selettori e che raccolgono per regola tutti gli aggregati dotati di una certa proprietà. Una legge generale viene quindi enunciata come uno schema, valido per ogni aggregato che il selettore ammette, e la sua verifica consiste nel controllo delle istanze che un programma è in grado di generare. Il numero naturale diventa una classe di equinumerosità, il numero reale diventa il profilo di una sezione, lo spazio e il continuo diventano una proprietà possibile degli aggregati, e il vero e il falso si allargano ai tre valori della logica ontologica.

Questi tre valori meritano una presentazione più distesa, dato che ricorreranno in ogni modulo. Un giudizio riceve il valore V quando è affermato, cioè quando si possiede l'informazione che lo rende vero, riceve il valore F quando è impossibile oppure confutato, e riceve il valore N, detto non apofantico, quando gli manca qualcosa per poter essere vero o falso, tipicamente un riferimento che non è stato specificato o una presupposizione di esistenza che non è soddisfatta. La logica ontologica è asimmetrica, nel senso che il vero si ottiene soltanto aggiungendo informazione e nessuna negazione lo restituisce, giacché la negazione fa passare dal vero al falso, dal falso al non apofantico e dal non apofantico di nuovo al falso, lasciando il vero fuori dal giro.

Anche i connettivi con cui si combinano i giudizi ricevono in ONTO una lettura ontologica, che la matematica eredita. La congiunzione è una compressione, perché stringe due proprietà in una determinazione più specifica, la disgiunzione è un'estensione, perché allarga il campo a ciò che possiede l'una o l'altra, la negazione è una dissoluzione e l'implicazione è un'espansione, il seme di ogni legame funzionale. Con questo corredo la catena che dall'essere conduce al numero si lascia percorrere per intero, dalla proprietà alla differenziazione, dalla differenziazione alla logica che la articola, dalla logica alla correlazione, dalla correlazione all'aggregazione, e di lì alla molteplicità, al numero e alle operazioni.

La costruzione è divisa in quattro livelli, ciascuno dei quali dichiara quanta ontologia richiede, affinché chi legge un teorema sappia sempre a quale prezzo lo sta comprando. Il livello base assume soltanto l'essere differenziato, la differenza presa nella sua forma qualitativa e l'aggregazione, e produce l'aritmetica dei numeri naturali, degli interi e dei rapporti, la quale vale di conseguenza per l'essere in quanto tale e per qualunque aggregato. Il livello correlazionale aggiunge il grado della differenza, cioè la distanza, e produce le grandezze. Il livello spaziale aggiunge la proprietà per cui le distanze di un aggregato compongono una trama coerente e senza lacune, e produce i numeri reali, l'analisi e la geometria, che valgono dunque sotto condizione. Il livello quantistico aggiunge la distinzione tra ciò che è implicito e ciò che è esplicito, che la Fisica Ontologica introduce nel suo terzo strato, e produce i numeri complessi, il peso e la probabilità.

La divisione in livelli serve anche a sciogliere un sospetto di circolarità che sarebbe altrimenti legittimo. La Fisica Ontologica adopera strumenti matematici pesanti per ricostruire il mondo, e se la matematica dovesse a sua volta attendere la fisica per essere fondata ci si troverebbe a girare in tondo. La soluzione consiste nel fatto che il livello base precede qualunque fisica e non consuma alcuno dei suoi strati, mentre i livelli superiori dichiarano uno per uno gli strati di cui si servono, cosicché ogni piano della matematica poggia su un'ontologia già disponibile e consegna i propri risultati ai piani della fisica che vengono dopo. Proprio per questo il livello base è il banco di prova dell'intero programma, poiché se l'aritmetica non si lasciasse ricavare dalla sola differenza e dalla sola aggregazione, tutto quanto vi viene costruito sopra resterebbe privo di fondamento.