L'aritmetica dei numeri naturali

I numeri naturali, quelli con cui si conta a partire dallo zero, vengono tradizionalmente introdotti attraverso cinque regole formulate da Giuseppe Peano nel 1889, che la matematica ordinaria accetta come assiomi e sulle quali costruisce tutto il resto. Nella Matematica Ontologica quelle cinque regole cambiano statuto e diventano un teorema, il primo e il più importante del livello base, che si enuncia dicendo che la classe dei numeri, con lo zero e con il successore definiti nel modulo precedente, soddisfa le condizioni seguenti. Lo zero è un numero, ogni numero possiede un successore, numeri distinti hanno successori distinti, lo zero non è successore di alcun numero, e ogni proprietà che valga per lo zero e che si trasmetta da ciascun numero al suo successore vale per tutti i numeri.

La dimostrazione percorre le cinque condizioni una per una. Le prime due discendono dall'esistenza dell'aggregato nullo e dall'inesauribilità, che garantisce sempre una determinazione nuova da aggiungere. Per la terza si supponga che A ▷ x e B ▷ y siano equinumerosi, e si consideri la correlazione piena che li lega. Se essa accompagna x a y, basta toglierle quella coppia per ottenere una correlazione piena tra A e B. Se invece accompagna x a una determinazione b di B, allora y è raggiunta da qualche determinazione a di A, e scambiando i due accompagnamenti, in modo che a vada in b, si ricade nel caso precedente. La quarta condizione vale perché in A ▷ x entra almeno la determinazione x, alla quale una correlazione verso l'aggregato nullo non saprebbe che cosa far corrispondere. La quinta, il principio di induzione, è l'assioma di generazione letto sui numeri, poiché una proprietà dei numeri che valga per lo zero e si trasmetta al successore è una proprietà degli aggregati che vale per quello nullo e si conserva a ogni aggiunta, e con ciò il teorema ottiene lo stato di derivato.

La quinta definizione, D5, introduce la somma e stabilisce che, dati due numeri [A] e [B], la loro somma [A] + [B] è il numero dell'aggregato A ▷ B′, dove B′ è un aggregato equinumeroso a B e privo di determinazioni in comune con A. La precauzione di sostituire B con una sua copia disgiunta dipende dalla clausola dell'assioma B4 per cui aggregare due volte la stessa parte lascia il tutto immutato, cosicché l'aggregazione di due aggregati che si sovrappongono perderebbe per strada le parti comuni. Il terzo lemma garantisce che la copia disgiunta esiste sempre, come si vede procedendo per generazione su B e pescando a ogni passo una determinazione nuova grazie all'inesauribilità, e che il risultato della somma è indifferente alla scelta dei rappresentanti e della copia, perché le correlazioni piene tra i rappresentanti si incollano in una correlazione piena tra gli aggregati composti.

La sesta definizione, D6, introduce il prodotto [A] · [B], che è il numero dell'aggregato A ⊗ B, formato da tutte le coppie ⟨a, b⟩ in cui a entra in A e b entra in B, e la sua lettura ontologica è quella di una correlazione totale, nella quale ogni differenza dell'un aggregato viene attraversata da ogni differenza dell'altro, come accade in una scacchiera dove ogni riga incontra ogni colonna. Il quarto lemma assicura che anche il prodotto è ben definito, giacché due correlazioni piene, una tra A e A′ e l'altra tra B e B′, ne inducono una tra le coppie.

Il secondo teorema raccoglie le leggi che a scuola si imparano come regole di calcolo e che qui mostrano la loro origine. La somma è commutativa, cioè [A] + [B] coincide con [B] + [A], perché l'aggregazione è indifferente all'ordine. È associativa perché l'aggregazione è indifferente al raggruppamento, e lo zero la lascia invariata perché l'aggregato nullo lascia invariato ogni aggregato. Il prodotto è commutativo perché lo scambio che manda ⟨a, b⟩ in ⟨b, a⟩ è una correlazione piena, è associativo per il riordino delle coppie annidate, ha l'uno come elemento neutro e si distribuisce sulla somma, poiché le coppie il cui primo termine entra in A ▷ B si ripartiscono senza resti tra quelle il cui primo termine entra in A e quelle il cui primo termine entra in B. Le leggi dell'aritmetica risultano così proprietà dell'aggregazione e dell'accoppiamento lette sui profili, e il teorema ha lo stato di derivato.

La settima definizione, D7, introduce l'ordine e dichiara che un numero [A] è minore o uguale a un numero [B] quando esiste una correlazione da A a B, anche se alcune determinazioni di B restano non raggiunte, il che equivale a dire che lo schema di differenze di A si lascia annidare in quello di B. Il terzo teorema afferma che questa relazione è un ordine totale, per il quale di due numeri qualunque uno è minore o uguale all'altro, e che è un buon ordine, nel senso che tra i numeri che godono di una proprietà data, purché ve ne sia almeno uno, ce n'è sempre uno più piccolo di tutti gli altri. Entrambe le affermazioni si ottengono per induzione e hanno lo stato di derivato. L'ordine, lontano dall'essere una convenzione sovrapposta ai numeri, esprime la relazione tra parte e tutto.

Con questi strumenti l'aritmetica elementare si ricostruisce per intero. Il quarto teorema è la divisione con resto, per la quale, dati un numero a e un numero b diverso da zero, esistono un solo quoziente q e un solo resto r minore di b tali che a coincida con b · q + r, e la sua lettura è che ogni aggregato si lascia disporre in file equinumerose a un campione, con un avanzo più corto di una fila. Da esso discende la scrittura posizionale, quella che permette di scrivere qualunque numero con dieci cifre, la quale consiste nel dividere ripetutamente per un numero scelto come base e nel registrare i resti, e che si rivela quindi un modo di descrivere un profilo rispetto a un campione di raggruppamento, senza alcun privilegio per la base dieci.

Un numero maggiore di uno si dice primo quando non è il prodotto di due numeri entrambi minori di esso, cioè quando nessun aggregato che lo rappresenti si lascia disporre in una scacchiera piena con più di una riga e più di una colonna. Il quinto teorema, noto come teorema fondamentale dell'aritmetica, afferma che ogni numero maggiore di uno è un prodotto di numeri primi e che questa scomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori, e si dimostra, come nei manuali, con il buon ordine e con la divisione con resto. Il sesto teorema afferma che, dato un qualunque aggregato di numeri primi, esiste un primo che non vi entra, e ripete l'argomento di Euclide, che moltiplica tra loro i primi dati, aggiunge uno e osserva che nessuno di essi divide il risultato. Vale la pena notare che Euclide enunciò il teorema proprio in questa forma, come possibilità di proseguire oltre ogni raccolta data, e che esso è il volto aritmetico dell'assioma di inesauribilità. Tutti e tre i teoremi hanno lo stato di derivato, dal momento che le dimostrazioni classiche adoperano soltanto ciò che i primi tre teoremi hanno messo a disposizione.