La distanza e le grandezze

Il livello base ha trattato la differenza come un fatto che c'è oppure manca, e con quella sola informazione ha costruito i numeri con cui si conta. La differenza che contrassegna le determinazioni possiede tuttavia una forma più ricca, giacché due proprietà possono essere più o meno vicine, più o meno correlate, e questo più e questo meno si lasciano confrontare. Il livello correlazionale della Matematica Ontologica prende in carico tale ricchezza, e corrisponde al secondo strato della Fisica Ontologica, quello della topologia emergente, nel quale tra le proprietà compaiono la vicinanza e la correlazione.

Va ripetuto, a costo di insistere, che nulla di quanto segue presuppone lo spazio. La distanza è la forma della differenza tra due determinazioni e riguarda quella coppia soltanto, allo stesso modo in cui si può dire che due colori sono più vicini tra loro di altri due, o che due parole hanno significati più prossimi, senza che colori e significati stiano in alcun luogo. Lo spazio fisico sarà una delle realizzazioni di questa struttura, quella che la Fisica Ontologica deposita al quinto strato, e la matematica che ora si costruisce varrà per essa come per ogni altra.

I primitivi del livello sono due e si aggiungono a quelli del livello base. Il primo è il confronto tra coppie, che scriviamo xy ≼ zw e leggiamo dicendo che x differisce da y non più di quanto z differisca da w, e dal quale si ricava l'equidistanza, scritta xy ≡ zw, che vale quando il confronto riesce nei due versi. Il secondo è la relazione dello stare fra, che lega tre determinazioni e che leggiamo dicendo che y sta fra x e z, con il significato che la differenza tra x e z si compone senza sprechi della differenza tra x e y e di quella tra y e z. Si noti che il primitivo è un semplice confronto, ancora privo di valori numerici, poiché i valori dovranno essere costruiti, in ossequio al principio di invariantizzazione, come profili di ciò che il confronto non distingue.

Gli assiomi del livello sono sette e portano la lettera C. Il primo, C1, afferma che la differenza di una determinazione da sé stessa è la più piccola possibile ed è la stessa per tutte le determinazioni, cosicché esiste una differenza nulla. Il secondo, C2, afferma che xy è equidistante da yx, e riprende a questo livello la mancanza di direzione già sancita da B2. Il terzo, C3, chiede che il confronto sia sempre possibile e coerente, vale a dire che due coppie qualunque siano confrontabili e che il confronto si trasmetta lungo le catene. Il quarto, C4, è l'identità, per la quale due determinazioni la cui differenza è nulla sono la stessa determinazione, e trascrive al livello correlazionale il principio degli indiscernibili.

Il quinto assioma, C5, riguarda la composizione e stabilisce che parti equidistanti compongono interi equidistanti, nel senso che, se y sta fra x e z e y′ sta fra x′ e z′, e se xy è equidistante da x′y′ e yz da y′z′, allora xz è equidistante da x′z′. Stabilisce inoltre che lo stare fra è simmetrico, cosicché ciò che sta fra x e z sta anche fra z e x, e che ciascuna delle due parti non supera l'intero. Il sesto assioma, C6, è la forma che assume qui la disuguaglianza triangolare, e afferma che il passaggio diretto non costa mai più di quello indiretto, cioè che la differenza tra x e z non supera la differenza che si otterrebbe componendo senza sprechi una parte equidistante da xy e una equidistante da yz. La sua lettura ontologica è che la differenza non si lascia comprimere facendo tappa altrove.

Il settimo assioma, C7, ha una natura diversa dagli altri, perché invece di descrivere la distanza ne delimita la portata. Esso afferma che la spazialità è possibile senza essere necessaria, cioè che la struttura descritta da C1 fino a C6 non costituisce un sostrato dell'essere e che si danno aggregati le cui distanze restano una semplice raccolta di confronti tra coppie, senza comporsi in una trama coerente. Con questo assioma la matematica dichiara, al proprio interno, che l'essere non è lo spazio.

La quattordicesima definizione, D14, chiama grandezza la classe delle coppie equidistanti da una coppia data, e la indica con una lettera come a o b. Una grandezza è il profilo di una differenza, ciò che una coppia di determinazioni ha in comune con tutte quelle che differiscono nella stessa misura, ed è il secondo genere di numero che la costruzione incontra, del tutto indipendente dal contare. Le grandezze sono ordinate dal confronto, e la quindicesima definizione, D15, ne introduce la somma, ponendo a + b uguale alla grandezza di una coppia xz che ammetta una determinazione intermedia y tale che xy abbia grandezza a e yz abbia grandezza b. L'assioma di composizione garantisce che il risultato sia indifferente alla scelta delle determinazioni, e la simmetria dello stare fra, unita a quella della differenza, fa sì che la somma di grandezze sia commutativa. A questo livello, tuttavia, nulla garantisce che due grandezze date si possano sempre comporre, perché potrebbe mancare nell'aggregato una terna adatta, e la somma resta perciò un'operazione che riesce quando l'aggregato lo consente.

Il numero rivela così di avere due origini, che la tradizione greca teneva separate con i nomi di arithmos, il numero del contare, e megethos, la grandezza del misurare, e che qui sorgono dallo stesso fondamento, la differenza, letta la prima volta come presenza e la seconda come grado. Il legame tra le due origini passa per il campione. Scelta una grandezza u come unità, una catena di determinazioni nella quale ciascuna sta fra la precedente e la successiva, a passi tutti di grandezza u, ha come estremi una coppia la cui grandezza è la somma di tante unità quanti sono i passi, e il numero dei passi è un numero del livello base. Questo raccordo tra contare e misurare, che la tradizione assume, diventerà un teorema nel modulo successivo.

Anche qui la logica a tre valori trova un'applicazione nitida. Il giudizio che due determinazioni differiscono ha valore V quando la differenza è constatata, il giudizio che due determinazioni distinte abbiano differenza nulla ha valore F, perché contraddice C4, e il giudizio che una distanza valga un certo numero ha valore N fino a quando non venga nominata l'unità rispetto alla quale la si misura. L'unità, lontano dall'essere una convenzione aggiunta a cose fatte, è ciò che trasforma una differenza ontologica in un numero che si può affermare. Gli assiomi di questo livello hanno lo stato di assunzioni dichiarate, le definizioni e le proprietà della somma di grandezze hanno lo stato di derivate, e la coincidenza tra la distanza qui assunta e la vicinanza che la Fisica Ontologica fa emergere nel suo secondo strato ha per ora lo stato di congetturata, in attesa di un confronto puntuale con i capitoli tecnici.