Il confronto filosofico

Una disciplina che propone di rifondare la matematica sull'essere entra in una conversazione che dura da venticinque secoli, e deve dire con chi si trova d'accordo, da chi si separa e che cosa aggiunge. Il confronto che segue procede in ordine all'incirca cronologico e cerca, per ciascun interlocutore, di individuare il punto esatto del contatto e quello del distacco, nella convinzione che una posizione si capisca meglio quando se ne vedono i confini.

Parmenide insegnò che l'essere è e che il nulla non può essere, e la Matematica Ontologica accoglie questa tesi nel suo primo assioma, in accordo con la Fisica Ontologica che dell'impossibilità del nulla fa un teorema. Se ne separa sul carattere dell'essere, che per Parmenide era uno e omogeneo e che qui è plurale fin dall'origine, in quanto differenziato in proprietà. Da Eraclito viene invece l'idea che nulla ritorni identico, che la logica di ONTO esprime con la tesi dell'impossibilità della ripetizione, e la matematica vi aggiunge che l'identità di cui i numeri hanno bisogno abita il piano della conoscenza, dove gli schemi si ripresentano anche se le determinazioni non lo fanno. I pitagorici sostennero che tutto è numero, e la tesi di queste pagine ne è una parente sobria, per la quale il numero è l'invariante della differenziazione di ogni cosa, senza che gli venga attribuito alcun potere di governo sul cosmo. Dai pitagorici viene anche la scoperta dell'incommensurabilità, che qui cessa di essere uno scandalo e diventa l'indicazione di un confine tra livelli.

Platone collocava i numeri in un mondo separato, eterno e immutabile, del quale le cose sensibili sarebbero copie imperfette, e la difficoltà della sua posizione, che i filosofi discutono ancora, è spiegare come menti immerse nel mondo possano conoscere oggetti che ne stanno fuori. La Matematica Ontologica conserva del platonismo la convinzione che i numeri siano oggettivi e indipendenti dai gusti di chi conta, e rinuncia alla separazione, poiché i numeri sono profili di aggregati reali e si conoscono esibendo correlazioni tra aggregati. Aristotele, dal canto suo, lascia in eredità la distinzione tra infinito potenziale e infinito attuale, che il modulo sull'infinito adotta nella sua interezza.

Leibniz è lo spirito guida dell'intera impresa, dato che il suo principio degli indiscernibili, per il quale due cose che non differiscono in nulla sono una cosa sola, compare tra gli assiomi a ogni livello, e il suo principio di ragion sufficiente, per il quale nulla è senza una ragione, anima la richiesta che ogni legge dell'aritmetica sia un teorema anziché una regola da accettare. Leibniz concepì inoltre lo spazio come ordine delle cose compresenti, contro lo spazio assoluto di Newton, e queste pagine proseguono nella stessa direzione fino a fare dell'ordine spaziale una proprietà che gli aggregati possono possedere o non possedere. La distanza da Leibniz sta nelle monadi, che erano individui dotati di proprietà e che l'ontologia di ONTO scioglie in aggregati di proprietà senza residuo.

Kant ritenne che lo spazio fosse una forma necessaria imposta dalla mente a ogni esperienza e che la geometria di Euclide ne descrivesse la struttura con certezza anteriore a ogni osservazione. La scoperta delle geometrie non euclidee incrinò questa tesi, e la Matematica Ontologica ne trae la conseguenza più radicale, trattando la spazialità come una proprietà possibile la cui presenza si accerta a posteriori. Hegel offre il precedente più vicino quanto all'impianto, poiché la sua Scienza della logica procede dall'essere all'essere determinato, alla differenza tra il qualcosa e l'altro, alla quantità, al numero e infine alla misura, in una successione che ricorda da vicino la catena di queste pagine. Ciò che cambia è il metodo, che in Hegel è dialettico e si arresta al concetto, mentre qui è assiomatico e prosegue fino ai teoremi e al loro controllo.

Frege e Russell tentarono, tra la fine dell'Ottocento e l'inizio del Novecento, di ridurre l'aritmetica alla logica, e la definizione di numero adottata in queste pagine è quella di Frege, la classe degli aggregati equinumerosi. La divergenza riguarda il fondamento, perché il logicismo partiva dai concetti e dalle loro estensioni, e naufragò quando si scoprì che le estensioni, trattate come oggetti, generano contraddizioni. La Matematica Ontologica parte dall'essere differenziato, considera la logica stessa come un'articolazione della differenza e tratta le classi come regole, sottraendole al gioco dell'appartenenza a sé stesse. Si può dire che riduca all'ontologia tanto la matematica quanto la logica.

Brouwer, fondatore dell'intuizionismo, pose all'origine della matematica l'intuizione di una separazione, quella tra un momento e il successivo, e sostenne che esistere, per un oggetto matematico, significa essere costruito. Queste pagine condividono il secondo punto quasi alla lettera, come conseguenza dell'asimmetria tra affermare e negare, e trasformano il primo, poiché la separazione originaria vi compare come struttura dell'essere anziché come esperienza interiore del tempo. Whitehead, con il metodo che chiamò astrazione estensiva, mostrò come i punti si possano intendere come limiti di relazioni tra regioni estese, e le determinazioni di una trama sono punti in questo senso. Hilbert, infine, insegnò il metodo assiomatico moderno, al quale questa documentazione si attiene, e ne viene corretto su un aspetto, giacché per lui gli assiomi erano regole di un gioco formale mentre qui ciascuno pretende di dire qualcosa di vero sull'essere.

Wittgenstein scrisse nel Tractatus che il mondo è la totalità dei fatti e che i fatti sono configurazioni di oggetti, con un'immagine che si avvicina a quella degli aggregati, e sostenne che la forma logica del mondo si mostra senza potersi dire e che le proposizioni della matematica sono prive di contenuto. Su entrambi i punti la Matematica Ontologica prende la via opposta, perché enuncia apertamente la propria ontologia in un linguaggio formale ed eseguibile e attribuisce alle leggi dell'aritmetica un contenuto, quello di descrivere gli invarianti dell'aggregazione. Quine formulò il celebre precetto secondo cui non si deve ammettere alcuna entità priva di un criterio di identità, e i numeri di queste pagine lo soddisfano nel modo più pieno, essendo definiti interamente dal proprio criterio di identità, l'equinumerosità.

Tra i contemporanei, Alain Badiou ha sostenuto con più forza di chiunque altro che la matematica è l'ontologia, e in questo è un alleato. Il disaccordo comincia subito dopo, perché Badiou identifica l'ontologia con la teoria degli insiemi di Zermelo e Fraenkel, con i suoi insiemi, i suoi elementi e il suo infinito attuale assunto per assioma, cioè con tutto ciò a cui queste pagine rinunciano, e descrive l'essere come una molteplicità pura dalla quale l'uno è sottratto, mentre qui l'essere è sempre determinato. Lo strutturalismo matematico di Stewart Shapiro e di Michael Resnik afferma che gli oggetti matematici sono posti in una struttura, privi di natura propria fuori da essa, e la Matematica Ontologica estende la tesi dal dominio dei numeri a tutto ciò che esiste. La teoria delle categorie fornisce poi il linguaggio tecnico più affine, poiché chiama decategorificazione il passaggio da una struttura al suo invariante numerico, che è il nome specialistico del principio di invariantizzazione, e descrive la somma e il prodotto esattamente come le costruzioni universali che queste pagine hanno ricavato dall'aggregazione e dall'accoppiamento.

Il fisico Max Tegmark ha proposto l'ipotesi dell'universo matematico, secondo cui la realtà fisica è una struttura matematica, e la somiglianza con la tesi di queste pagine è evidente. La differenza sta nell'ordine dei termini e nelle conseguenze. Tegmark prende la matematica esistente come data e afferma che il mondo coincide con una delle sue strutture, ritenendo anzi che tutte le strutture coerenti esistano allo stesso titolo, mentre qui la matematica stessa viene ricavata dall'essere, livello per livello, e ogni struttura vale dove è presente la proprietà che la sostiene. Quanto alla corrente che si richiama ai libri firmati Mike Hockney e che usa in inglese il nome di matematica ontologica, essa presenta una metafisica dei numeri come monadi viventi priva di assiomi e di dimostrazioni, e la coincidenza del nome non corrisponde ad alcuna parentela di metodo o di contenuto.