La logica dei giudizi numerici

La matematica tradizionale ragiona con due valori di verità e dà per scontato che ogni enunciato ben formato sia vero oppure falso, anche quando nessuno sa quale dei due casi si dia. La Matematica Ontologica eredita da ONTO una logica a tre valori e deve perciò dire con chiarezza come questi si distribuiscano sui giudizi che riguardano i numeri, il che costituisce uno dei tratti che più la allontanano dall'abitudine e che più conseguenze producono sul modo di dimostrare.

Un giudizio numerico riceve il valore V quando è stata esibita la correlazione che lo rende vero. Affermare che sette più cinque fa dodici significa possedere un procedimento, il calcolo, che costruisce l'accostamento senza resti tra l'aggregato composto e il campione del dodici, e il valore V appartiene al giudizio in forza di quella costruzione. Un giudizio riceve il valore F quando è stata esibita la sua impossibilità, come accade per l'affermazione che sette più cinque faccia tredici, la quale richiederebbe una correlazione piena tra aggregati che il teorema sui successori dimostra non equinumerosi. Un giudizio riceve infine il valore N, non apofantico, quando gli manca l'informazione necessaria per essere vero o falso.

I casi in cui un giudizio numerico è non apofantico sono di due specie, e conviene tenerle distinte. La prima si presenta quando manca il campione, cioè quando si attribuisce una misura senza dire rispetto a che cosa. La frase secondo cui un certo aggregato vale tre è compiuta se si intende che esso è equinumeroso al campione del tre, mentre resta sospesa se il termine di confronto è taciuto, e la sospensione si fa evidente appena si passa alle grandezze, dove dire che una distanza vale due senza nominare l'unità equivale a non aver detto ancora nulla. L'attribuzione di un numero è una proprietà a due posti, uno per ciò che viene misurato e uno per il campione, e un posto lasciato vuoto rende il giudizio incompleto anziché falso.

La seconda specie si presenta quando né una correlazione né una confutazione sono state esibite. Una congettura aperta, come quella di Goldbach, secondo cui ogni numero pari maggiore di due è somma di due primi, ha per ogni singolo numero pari un valore che il calcolo determina, mentre nella sua forma generale, che riguarda tutti i numeri pari, rimane non apofantica finché una dimostrazione o un controesempio non vengano ad aggiungere l'informazione mancante. Questa lettura applica alla matematica il principio che regge l'intera logica di ONTO, secondo il quale il vero si ottiene soltanto per aggiunta di informazione, e che qui si può riformulare dicendo che il numero si ottiene soltanto per aggiunta del campione e il teorema soltanto per aggiunta della costruzione.

Il settimo teorema, che chiamiamo teorema di bivalenza dell'affermato, precisa in che rapporto stia tutto questo con la matematica classica. La logica ontologica possiede una proprietà, detta congruenza del vero, per la quale i tre valori si lasciano raggruppare in due blocchi, con V da una parte e F insieme a N dall'altra, e ogni connettivo rispetta questo raggruppamento. Ne segue che, una volta ristretta l'attenzione ai giudizi affermati, il calcolo procede esattamente come nella logica a due valori, e che la matematica classica coincide con la porzione dell'affermato all'interno della Matematica Ontologica. Nulla di ciò che la tradizione ha dimostrato costruendo viene perduto, e ciò che si aggiunge è la capacità di distinguere, tra gli enunciati che la tradizione chiamerebbe genericamente non dimostrati, quelli confutati da quelli ancora privi di riferimento. Il teorema ha lo stato di derivato, poiché discende direttamente dalle proprietà della logica ontologica che ONTO ha verificato sul proprio motore.

La conseguenza più delicata riguarda le dimostrazioni per assurdo. Poiché nella logica ontologica nessuna negazione restituisce il vero, mostrare che la negazione di un enunciato conduce a contraddizione stabilisce che quella negazione ha valore F, e lascia l'enunciato di partenza in attesa di una costruzione che lo affermi. La distinzione è innocua quando ciò che si vuole stabilire è a sua volta un'impossibilità, come nel caso dell'incommensurabilità trattata più avanti, dove si dimostra che un certo rapporto non può esistere e il ragionamento per assurdo fa esattamente il lavoro richiesto. Diventa invece sostanziale quando si vuole stabilire un'esistenza, perché un oggetto matematico di cui si sia soltanto esclusa l'inesistenza rimane privo del procedimento che lo esibisce.

Sotto questo aspetto la Matematica Ontologica si colloca accanto alle correnti costruttive del Novecento, per le quali esistere, in matematica, vuol dire poter essere costruito, e condivide con esse sia il rigore sia il costo, che consiste nel dover riformulare alcuni teoremi classici di pura esistenza accompagnandoli con un procedimento di approssimazione. Tutti i risultati del livello base presentati in questa documentazione sono costruttivi, giacché ogni esistenza vi è ottenuta per generazione, mentre per i risultati del livello spaziale la questione verrà discussa caso per caso, distinguendo l'esistenza che una proprietà dell'essere garantisce dalla conoscenza del valore che un calcolo rende disponibile.