Il continuo e i numeri reali

Il livello spaziale è il primo livello condizionato della Matematica Ontologica, e tutto ciò che vi si dimostra vale dove una certa proprietà è presente e tace altrove. La proprietà in questione, che chiamiamo spazialità e indichiamo con la lettera S, appartiene a un aggregato quando le sue distanze cessano di essere una raccolta di confronti isolati e si reggono a vicenda in un tutto coerente, al quale diamo il nome di trama. È bene avvertire che una trama, in questo senso, è qualunque sistema di distanze che soddisfi le condizioni elencate qui sotto, e che lo spazio fisico ne è un esempio tra altri, cosicché i numeri reali vengono costruiti una volta sola come invarianti della forma di una trama e si applicano poi a ogni sua realizzazione.

Le condizioni sono cinque e portano la lettera S. La prima, S1, è la componibilità, e chiede che due grandezze qualunque dell'aggregato si possano sempre comporre, cioè che esistano tre determinazioni di cui una stia fra le altre due in modo da realizzare le due grandezze date, e che le catene di determinazioni poste l'una fra le altre si compongano con coerenza. Grazie a essa la somma di grandezze, che al livello correlazionale riusciva soltanto in casi favorevoli, diventa un'operazione sempre eseguibile e associativa. La seconda, S2, è l'aritmetica interna, e chiede che, scelta una grandezza u come unità, la trama ne ospiti tutti i multipli e che ogni grandezza si lasci dividere in un numero qualunque di parti uguali, cosicché il discreto del livello base abita nella trama come una spina dorsale.

La terza condizione, S3, è quella di Archimede, già incontrata tra i rapporti, e chiede che nessuna grandezza diversa da quella nulla sia così piccola da restare al di sotto dell'unità per quante volte la si ripeta, il che esclude gli infinitesimi. La quarta, S4, è la connessione, e chiede che, quando una grandezza a è minore di una grandezza b, esista nella trama la grandezza che aggiunta ad a restituisce b, in modo che tra le grandezze non si aprano salti. La quinta, S5, è la completezza, e per enunciarla occorre una definizione.

La sedicesima definizione, D16, chiama sezione una regola che ripartisce i rapporti positivi in due classi, una inferiore e una superiore, tali che ogni rapporto della prima sia minore di ogni rapporto della seconda. Una sezione è un modo di tagliare in due la successione dei rapporti, ed è data da un selettore, cioè da una regola, anziché da una totalità di elementi raccolti uno per uno. Ogni grandezza a della trama determina una sezione rispetto all'unità, ponendo nella classe inferiore i rapporti di m su n per i quali m volte l'unità non supera n volte la grandezza, e nella classe superiore gli altri. Questo modo di confrontare una grandezza con l'unità senza presupporre alcun numero risale a Eudosso di Cnido, nel quarto secolo avanti Cristo, e costituisce il nucleo del quinto libro degli Elementi di Euclide. La condizione S5 chiede allora che ogni sezione sia realizzata, cioè che per ogni modo di tagliare i rapporti esista nella trama una grandezza che determina esattamente quel taglio. Una trama completa è una trama senza lacune, nella quale ogni taglio possiede un bordo.

La diciassettesima definizione, D17, chiama numero reale positivo il profilo di una sezione, e numero reale, senza altra qualifica, ciò che si ottiene aggiungendo i segni con il procedimento delle coppie già usato per gli interi. Un numero reale è dunque la misura di una grandezza rispetto a un campione, espressa come l'invariante di tutti i rapporti che la approssimano per difetto e di tutti quelli che la approssimano per eccesso, e la presenza del campione nella definizione conferma, anche al livello spaziale, che attribuire un numero è un atto a due termini.

Il dodicesimo teorema descrive il risultato e afferma che, in una trama che soddisfi le cinque condizioni, la corrispondenza che manda ogni grandezza nella propria sezione conserva l'ordine e la somma, non confonde mai due grandezze diverse grazie alla condizione di Archimede, e raggiunge ogni sezione grazie alla completezza. Le grandezze della trama, misurate rispetto all'unità, coincidono perciò con i numeri reali positivi, e i numeri reali, dotati della somma e del prodotto definiti sulle sezioni, formano un campo ordinato, archimedeo e completo. Il teorema ha lo stato di derivato sotto condizione, perché le dimostrazioni sono quelle classiche dovute a Richard Dedekind e a Otto Hölder, rilette nel linguaggio delle sezioni e dei selettori, e valgono a patto che la trama possieda la proprietà S.

Il tredicesimo teorema, che chiamiamo teorema del ponte, salda le due origini del numero. I rapporti si ritrovano dentro i reali, poiché ogni rapporto è la misura della grandezza ottenuta dividendo e moltiplicando l'unità, e vi si ritrovano densamente, nel senso che tra due reali distinti cade sempre un rapporto. Inoltre la misura di una catena di n passi unitari è esattamente il numero n del livello base. Contare e misurare, che al livello correlazionale apparivano come due attività parallele, si rivelano due letture della stessa trama, e le leggi dell'aritmetica dimostrate nel livello base risultano la restrizione delle leggi dei reali alla spina dorsale dei multipli dell'unità. Il teorema ha lo stato di derivato sotto condizione.

Il quattordicesimo teorema risarcisce il confine che il livello base aveva scoperto. In ogni trama completa esiste una grandezza la cui misura ha per quadrato il numero due, ed è quella che realizza la sezione formata, da una parte, dai rapporti con quadrato minore di due e, dall'altra, da quelli con quadrato maggiore. La domanda che al livello base restava non apofantica, per mancanza di qualcosa che ne fosse la misura, riceve qui il valore V, e lo riceve esattamente dove l'essere ha assunto la proprietà spaziale. L'incommensurabile cessa di apparire come un numero mancante e si mostra come la traccia di una proprietà che al livello inferiore non era ancora stata aggregata.

La completezza ha un prezzo che il patto di onestà obbliga a dichiarare. Essa non si dimostra, perché costituisce il contenuto stesso della proprietà spaziale, e la Matematica Ontologica, anziché assumere il continuo come un dato, assume che possano darsi aggregati spaziali e ne ricava il continuo come teorema. Che tali aggregati esistano davvero è materia della Fisica Ontologica, la quale racconta come la proprietà spaziale si depositi tra il secondo e il quinto strato. Negli aggregati privi di quella proprietà la matematica legittima si ferma ai rapporti, ed è completa per quanto le compete.

Ne discende una risposta sobria alla domanda, resa celebre dal fisico Eugene Wigner, sul perché la matematica si applichi con tanto successo alla natura. La questione si lascia riformulare chiedendosi quale matematica valga e dove, e la risposta è che l'aritmetica vale ovunque, perché non presuppone altro che la differenza, mentre il continuo vale negli aggregati che hanno assunto la spazialità. Che i numeri reali funzionino in fisica cessa allora di sembrare un mistero, dal momento che l'universo osservabile è un aggregato dotato proprio della proprietà di cui i reali sono l'invariante.