I primitivi e gli assiomi del livello base

Un sistema formale si apre dichiarando le nozioni che rinuncia a definire, perché ogni definizione rimanda ad altre parole e la catena dei rimandi deve pur fermarsi da qualche parte, e l'onestà di una fondazione si misura da quanto poche e quanto povere siano le nozioni sulle quali si ferma. Il livello base della Matematica Ontologica ne ammette tre, e nessuna di esse ha a che fare con i numeri. La prima è la determinazione, il luogo in cui l'essere si differenzia, che indicheremo con le lettere minuscole x, y, z. La seconda è la differenza, una relazione tra due determinazioni che scriveremo x ∥ y e leggeremo dicendo che x differisce da y, presa qui nella sua forma qualitativa, la quale registra che una differenza sussiste e tace su quanto sia grande. La terza è l'aggregazione, indicata con ▷, che compone determinazioni in un tutto, e chiameremo aggregati, con le lettere maiuscole A, B, C, i tutti così composti, dicendo che una determinazione entra in un aggregato quando ne è una parte.

Su questi primitivi poggiano nove assiomi, contrassegnati dalla lettera B che ricorda il livello al quale appartengono. Il primo, B1, afferma l'esistenza differenziata, cioè che si danno almeno due determinazioni le quali differiscono l'una dall'altra, e la sua lettura ontologica è che l'essere, lontano dall'essere un blocco uniforme, è plurale fin dall'origine, in accordo con la tesi della Fisica Ontologica secondo cui il nulla assoluto è impossibile e ciò che c'è si presenta sempre determinato.

Il secondo assioma, B2, fissa la forma della differenza e stabilisce che nessuna determinazione differisce da sé stessa e che, quando x differisce da y, anche y differisce da x. La prima clausola dice che la differenza guarda sempre altrove, la seconda che è priva di direzione, sicché tra due determinazioni non c'è una che differisca per prima.

Il terzo assioma, B3, riguarda l'identità e si compone di due affermazioni che lavorano insieme. Secondo la prima, se x differisce da z allora qualunque terza determinazione y differisce da x oppure da z, il che esclude che una determinazione possa confondersi contemporaneamente con due determinazioni diverse tra loro. Secondo la seconda, due determinazioni che non differiscono sono la stessa determinazione. È questa la forma che assume qui il principio degli indiscernibili di Leibniz, ed è grazie a essa che l'identità cessa di essere un fatto primitivo e si presenta come il caso limite della differenza, quello in cui la differenza si annulla.

Il quarto assioma, B4, descrive l'aggregazione e stabilisce che ogni determinazione vale come aggregato di sé sola, due aggregati qualunque si compongono in un aggregato A ▷ B nel quale entrano le determinazioni dell'uno e quelle dell'altro, e il risultato è indifferente all'ordine e al raggruppamento, cosicché A ▷ B coincide con B ▷ A e (A ▷ B) ▷ C coincide con A ▷ (B ▷ C). Vale inoltre che A ▷ A coincide con A, perché aggregare a un tutto qualcosa che già vi entra lascia il tutto com'era. Quest'ultima clausola, che a prima vista pare un dettaglio, separa nettamente l'aggregazione dalla somma dei numeri e spiegherà più avanti perché, per sommare, occorra procurarsi aggregati privi di parti comuni.

Il quinto assioma, B5, è quello della generazione, e porta con sé il metodo di dimostrazione più usato in tutto il livello. Esso afferma che ogni aggregato si ottiene dall'aggregato nullo aggiungendo una determinazione alla volta, e lo afferma nella forma seguente, che evita con cura di contare i passi. Qualunque proprietà che valga per l'aggregato nullo e che, ogni volta che vale per un aggregato A, valga anche per l'aggregato A ▷ x ottenuto aggiungendo una determinazione x, vale per tutti gli aggregati. Ne segue che gli aggregati sono tutti finiti, anche se la parola finito non compare nell'enunciato, e che ogni discesa che tolga una determinazione alla volta termina.

Il sesto assioma, B6, è l'inesauribilità, secondo la quale per ogni aggregato A esiste una determinazione che differisce da tutte quelle che entrano in A. L'essere, in altre parole, eccede ogni aggregato che se ne possa comporre, ed è questo assioma, e soltanto questo, a introdurre in aritmetica l'infinito, sotto la forma di una possibilità sempre aperta di proseguire piuttosto che sotto quella di una totalità compiuta.

Il settimo assioma, B7, è l'estensionalità, per la quale due aggregati nei quali entrano le stesse determinazioni sono lo stesso aggregato. Un aggregato è dunque ciò che lo compone e nient'altro, e nessuna etichetta, nessun ordine di arrivo e nessun involucro contribuiscono alla sua identità.

L'ottavo assioma, B8, è l'accoppiamento, per il quale, date due determinazioni x e y, esiste la determinazione coppia, che scriviamo ⟨x, y⟩, e due coppie coincidono esattamente quando coincidono i loro primi termini e i loro secondi termini. Il fatto che due determinazioni siano prese insieme in un certo ordine è a sua volta una determinazione dell'essere, e questo assioma lo riconosce. Su di esso poggeranno le correlazioni e il prodotto.

Il nono assioma, B9, introduce l'aggregato nullo, indicato con ∅, nel quale non entra alcuna determinazione e che lascia invariato ogni aggregato al quale venga composto, cosicché A ▷ ∅ coincide con A. Conviene chiarire subito che cosa questo assioma afferma, dato che la Fisica Ontologica dimostra l'impossibilità del nulla e sarebbe grave contraddirla alla prima pagina. L'aggregato nullo è lo schema della generazione quando nessuna aggiunta è stata ancora compiuta, appartiene al piano epistemico dei profili alla pari dei numeri e, lontano dall'asserire che da qualche parte ci sia il nulla, fornisce il punto di partenza rispetto al quale ogni aggiunta viene descritta.

Tutti e nove gli assiomi hanno lo stato di assunzioni dichiarate, e la loro giustificazione è di natura ontologica, nel senso che ciascuno trascrive in simboli un tratto dell'essere differenziato che le pagine precedenti hanno esposto a parole. La questione se siano i soli possibili, o i più economici, è aperta e viene ripresa nel modulo dedicato alle obiezioni, mentre la questione della loro coerenza riceve una risposta rassicurante, poiché essi sono soddisfatti dalle costruzioni finite della matematica ordinaria e hanno di conseguenza la stessa solidità dell'aritmetica che tutti adoperano.