L'analisi riscritta

L'analisi è la parte della matematica che studia il cambiamento e l'accumulo, attraverso le nozioni di limite, di continuità, di derivata e di integrale, ed è lo strumento con cui la fisica scrive quasi tutte le sue leggi. Poiché poggia per intero sui numeri reali, nella Matematica Ontologica appartiene al livello spaziale e ne condivide la natura condizionata. La sua riscrittura mostra che le quattro nozioni fondamentali sono altrettanti invarianti, e che la completezza della trama è l'ingrediente che permette loro di esistere.

La diciottesima definizione, D18, introduce la successione e il suo limite. Una successione è una correlazione che a ogni numero naturale accompagna un numero reale, data mediante una regola che produce un termine dopo l'altro, e va intesa come un procedimento sempre proseguibile anziché come una fila infinita già interamente scritta. Si dice che una successione ha per limite il reale r quando, fissata una tolleranza a piacere, espressa da un rapporto positivo, esiste un punto della successione oltre il quale tutti i termini distano da r meno della tolleranza. Il limite è dunque l'invariante della coda della successione, ciò che rimane fermo quando si trascura un qualsiasi tratto iniziale, e la tolleranza svolge qui il ruolo del campione, perché la vicinanza al limite viene sempre affermata rispetto a un termine di confronto esplicito.

La completezza della trama si traduce nel fatto che ogni successione crescente e limitata dall'alto possiede un limite, il quale è la grandezza che realizza la sezione tracciata dai termini della successione. Su questo fatto riposano le serie, cioè le somme di infiniti addendi, che si definiscono come limiti delle somme parziali, e le scritture decimali illimitate, che sono serie di un tipo particolare. Numeri come quello di Nepero, base dei logaritmi naturali, vengono introdotti proprio come limiti di successioni di rapporti, e la loro esistenza è garantita dalla proprietà spaziale, mentre il loro valore viene conosciuto con la precisione che si desidera attraverso il calcolo dei termini.

Questa distinzione tra esistenza e conoscenza del valore scioglie, per il livello spaziale, la questione delle dimostrazioni di esistenza sollevata nel modulo sulla logica. L'esistenza di un limite è assicurata da una proprietà dell'essere, la completezza della trama, e ha perciò un fondamento ontologico che non dipende da alcuna costruzione. Il giudizio che attribuisce a quel limite un valore numerico entro una data tolleranza diventa invece vero quando viene esibito il calcolo che lo approssima, e resta non apofantico fino a quel momento. Un'affermazione di convergenza priva dell'indicazione di quanto in là occorra spingersi per ottenere una certa precisione è un giudizio al quale manca ancora un pezzo.

La diciannovesima definizione, D19, riguarda la continuità e stabilisce che una correlazione tra due trame, che la tradizione chiama funzione, è continua quando rispetta la vicinanza, cioè quando, fissata una tolleranza sui valori di arrivo, esiste una tolleranza sui valori di partenza che la garantisce. La continuità è la forma che il rispetto della differenza, richiesto a ogni correlazione fin dal livello base, assume quando la differenza è diventata una distanza in una trama completa. Il quindicesimo teorema, detto dei valori intermedi, afferma che una correlazione continua definita su un tratto di trama, la quale assuma agli estremi un valore negativo e uno positivo, si annulla in qualche punto intermedio, e il procedimento di bisezione, che dimezza a ogni passo il tratto in cui il cambio di segno avviene, fornisce insieme l'esistenza del punto e il calcolo che lo approssima. Il sedicesimo teorema, dovuto a Karl Weierstrass, afferma che una correlazione continua su un tratto di trama che comprenda i propri estremi raggiunge un valore massimo e uno minimo. Entrambi hanno lo stato di derivato sotto condizione, e del secondo la tradizione offre una dimostrazione di pura esistenza che andrà affiancata da un procedimento di approssimazione.

La ventesima definizione, D20, introduce la derivata e, data una correlazione tra trame, considera il rapporto tra la variazione del valore di arrivo e la variazione del valore di partenza, chiamando derivata in un punto il limite di questo rapporto quando la variazione di partenza diventa piccola a piacere, purché tale limite esista. La derivata è l'invariante del modo in cui una correlazione risponde a variazioni minime, ciò che di quella risposta rimane fermo quando la scala dell'osservazione viene ridotta sempre di più, e misura la rapidità con cui una grandezza cambia rispetto a un'altra. Le regole di calcolo che la riguardano, per la somma, per il prodotto e per la composizione di correlazioni, si ricavano dalla definizione come nei manuali.

La ventunesima definizione, D21, introduce l'integrale, e lo fa in un modo che si accorda in maniera particolarmente felice con il linguaggio delle sezioni. Per misurare l'area racchiusa sotto il grafico di una correlazione si suddivide il tratto di partenza in parti, e si costruiscono due approssimazioni, una per difetto, che in ogni parte adopera il valore più basso, e una per eccesso, che adopera il più alto. Al raffinarsi della suddivisione le approssimazioni per difetto crescono e quelle per eccesso calano, e le une restano sempre al di sotto delle altre, sicché insieme tracciano una sezione. Si dice che la correlazione è integrabile quando tale sezione ha un unico profilo, e quel profilo è l'integrale. L'integrale è l'invariante additivo dell'aggregazione delle parti, il corrispettivo continuo di ciò che la somma era per gli aggregati del livello base, e le nozioni di lunghezza, di area e di volume ne sono casi particolari.

Il diciassettesimo teorema, il teorema fondamentale del calcolo, lega le due nozioni e afferma che derivare e integrare sono operazioni inverse l'una dell'altra, vale a dire che la rapidità con cui cresce l'area accumulata sotto il grafico di una correlazione continua è data dal valore della correlazione stessa. La sua lettura ontologica è che il modo in cui un tutto cresce quando gli si aggrega una parte piccolissima coincide con la grandezza di quella parte, ed è l'analogo, nel continuo, del fatto che il successore si ottiene aggiungendo una determinazione. Il teorema ha lo stato di derivato sotto condizione.

Il corpo dell'analisi, che comprende le equazioni differenziali, le serie di potenze, le funzioni di più variabili e la teoria generale della misura, si sviluppa a partire da queste fondamenta con gli stessi metodi della tradizione, e la sua riscrittura completa nel lessico delle sezioni e dei profili è un lavoro che resta da compiere, al quale spetta per ora lo stato di congetturato. Ciò che le pagine precedenti stabiliscono è che nessuna di quelle teorie richiede ontologia ulteriore rispetto alla proprietà spaziale, e che ciascuna eredita da essa il proprio carattere condizionato.